Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3 x - 2}{2 x + 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 x - 2$ et $g (x) = 2 x + 1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} (3 x - 2) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 + 0) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) \cdot 3 - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $2 x + 1$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot (2 x + 1) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.12.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.12.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - 2 (3 x - 2)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x - 2)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.1

Associez les termes opposés dans $3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2$ .

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Étape 1.3.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $3 (2 x)$ et $- 2 (3 x)$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (3 x) + 3 \cdot 1 - 2 \cdot (3 x) - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2

Soustrayez $2 \cdot 3 x$ de $2 \cdot 3 x$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 1 + 0 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.3

Additionnez $3 \cdot 1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 1 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.2.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{3 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f' (x) = \frac{3 + 4}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$f' (x) = \frac{7}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{7}{{(2 x + 1)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}})$

Étape 2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$ comme ${({(2 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} ({({(2 x + 1)}^{2})}^{- 1})$

Étape 2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(2 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{2 \cdot - 1})$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{- 2})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = 2 x + 1$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 7 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$f'' (x) = 7 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 7 (- 2 {(2 x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$f'' (x) = - 14 ({(2 x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 2.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 2.3.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 + 0)$

Étape 2.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.7.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} \cdot 2$

Étape 2.3.7.2

Multipliez $2$ par $- 14$ .

$f'' (x) = - 28 {(2 x + 1)}^{- 3}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 28 \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Associez $- 28$ et $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 28}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Étape 2.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{28}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.1.1

Comme $- 28$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{28}{{(2 x + 1)}^{3}}$ par rapport à $x$ est $- 28 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}]$ .

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Étape 3.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$ comme ${({(2 x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} {({(2 x + 1)}^{3})}^{- 1}$

Étape 3.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(2 x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} {(2 x + 1)}^{3 \cdot - 1}$

Étape 3.1.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} {(2 x + 1)}^{- 3}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 3}$ et $g (x) = 2 x + 1$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x + 1$ .

$f''' (x) = - 28 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$f''' (x) = - 28 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 1$ .

$f''' (x) = - 28 (- 3 {(2 x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Multipliez $- 3$ par $- 28$ .

$f''' (x) = 84 ({(2 x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 3.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 3.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 3.3.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 + 0)$

Étape 3.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.7.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} \cdot 2$

Étape 3.3.7.2

Multipliez $2$ par $84$ .

$f''' (x) = 168 {(2 x + 1)}^{- 4}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = 168 (\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}})$

Étape 3.4.2

Associez $168$ et $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{168}{{(2 x + 1)}^{4}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 4.1.1

Comme $168$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{168}{{(2 x + 1)}^{4}}$ par rapport à $x$ est $168 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}}]$ .

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}})$

Étape 4.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}}$ comme ${({(2 x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} ({({(2 x + 1)}^{4})}^{- 1})$

Étape 4.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(2 x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{4 \cdot - 1})$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{- 4})$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 4}$ et $g (x) = 2 x + 1$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x + 1$ .

$f^{4} (x) = 168 (\frac{d}{d u} (u^{- 4}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 4$ .

$f^{4} (x) = 168 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 1$ .

$f^{4} (x) = 168 (- 4 {(2 x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Étape 4.3

Différenciez.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 4$ par $168$ .

$f^{4} (x) = - 672 ({(2 x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Étape 4.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 4.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 4.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 4.3.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 + 0)$

Étape 4.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.7.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} \cdot 2$

Étape 4.3.7.2

Multipliez $2$ par $- 672$ .

$f^{4} (x) = - 1344 {(2 x + 1)}^{- 5}$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 1344 \frac{1}{{(2 x + 1)}^{5}}$

Étape 4.4.2

Associez des termes.

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Étape 4.4.2.1

Associez $- 1344$ et $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 1344}{{(2 x + 1)}^{5}}$

Étape 4.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{4} (x) = - \frac{1344}{{(2 x + 1)}^{5}}$