Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - x^{2} - x - 2}{2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - x - 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Étape 5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - lim_{x \to 2} 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Étape 7

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Étape 9

Évaluez la limite de $5 y^{2}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Étape 10

Évaluez la limite de $5 y$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Étape 11

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{2^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{2^{3} - 2^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Étape 12.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{2^{3} - 2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Étape 12.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{2^{3} - 2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{8 - 2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Étape 13.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 4 - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Étape 13.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{8 - 4 - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Étape 13.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{8 - 4 - 2 - 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Étape 13.1.5

Soustrayez $4$ de $8$ .

$\frac{4 - 2 - 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Étape 13.1.6

Soustrayez $2$ de $4$ .

$\frac{2 - 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Étape 13.1.7

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

Multipliez $2$ par $2^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.2.1.1

Multipliez $2$ par $2^{3}$ .

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Étape 13.2.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{0}{2^{1} \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Étape 13.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{0}{2^{1 + 3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Étape 13.2.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{0}{2^{4} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Étape 13.2.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{0}{16 - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Étape 13.2.3

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{0}{16 - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Étape 13.2.4

Soustrayez $6$ de $16$ .

$\frac{0}{- 5 y^{2} + 5 y + 10}$

Étape 13.2.5

Réécrivez $- 5 y^{2} + 5 y + 10$ en forme factorisée.

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Étape 13.2.5.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 y^{2} + 5 y + 10$ .

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Étape 13.2.5.1.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 y^{2}$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2}) + 5 y + 10}$

Étape 13.2.5.1.2

Factorisez $5$ à partir de $5 y$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2}) + 5 (y) + 10}$

Étape 13.2.5.1.3

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2}) + 5 y + 5 \cdot 2}$

Étape 13.2.5.1.4

Factorisez $5$ à partir de $5 (- y^{2}) + 5 y$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2} + y) + 5 \cdot 2}$

Étape 13.2.5.1.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (- y^{2} + y) + 5 \cdot 2$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2} + y + 2)}$

Étape 13.2.5.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 13.2.5.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 2 = - 2$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 13.2.5.2.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2} + 1 y + 2)}$

Étape 13.2.5.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 1$ plus $2$

$\frac{0}{5 (- y^{2} + (- 1 + 2) y + 2)}$

Étape 13.2.5.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{0}{5 (- y^{2} - 1 y + 2 y + 2)}$

Étape 13.2.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 13.2.5.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{0}{5 ((- y^{2} - 1 y) + 2 y + 2)}$

Étape 13.2.5.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{0}{5 (y (- y - 1) - 2 (- y - 1))}$

Étape 13.2.5.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- y - 1$ .

$\frac{0}{5 ((- y - 1) (y - 2))}$

$\frac{0}{5 (- y - 1) (y - 2)}$

Étape 13.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

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Étape 13.3.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$\frac{5 (0)}{5 (- y - 1) (y - 2)}$

Étape 13.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 (- y - 1) (y - 2)$ .

$\frac{5 (0)}{5 ((- y - 1) (y - 2))}$

Étape 13.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot 0}{5 ((- y - 1) (y - 2))}$

Étape 13.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{(- y - 1) (y - 2)}$

Étape 13.4

Divisez $0$ par $(- y - 1) (y - 2)$ .

$0$