Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{(2 - x) (2 + x)}$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Développez $(2 - x) (2 + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{2 (2 + x) - x (2 + x)}$

Étape 1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{2 \cdot 2 + 2 x - x (2 + x)}$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{2 \cdot 2 + 2 x - x \cdot 2 - x \cdot x}$

Étape 1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 2 x - x \cdot 2 - x \cdot x}$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 2 x - 2 x - x \cdot x}$

Étape 1.2.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.3.1

Déplacez $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 2 x - 2 x - (x \cdot x)}$

Étape 1.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 2 x - 2 x - x^{2}}$

Étape 1.2.2

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 + 0 - x^{2}}$

Étape 1.2.3

Additionnez $4$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 1}{4 - x^{2}}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 3.1.2

Divisez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - 1 \cdot 1}$

Étape 3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4}{x^{2}} - 1}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}$

Étape 3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{2 + 0}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 + 0}{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 5.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 + 0}{4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{2 + 0}{4 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 + 0}{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Étape 7.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.2.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{2}{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{2}{0 - 1 \cdot 1}$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2}{0 - 1}$

Étape 7.2.2.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{2}{- 1}$

Étape 7.2.3

Divisez $2$ par $- 1$ .

$- 2$