Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 2} {(3 x - 8)}^{3} \cdot \frac{3 x}{5 x - 4}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$lim_{x \to 2} {(3 x - 8)}^{3} \cdot lim_{x \to 2} \frac{3 x}{5 x - 4}$

Étape 2

Déplacez l’exposant $3$ de ${(3 x - 8)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{x \to 2} 3 x - 8)}^{3} \cdot lim_{x \to 2} \frac{3 x}{5 x - 4}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

${(lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 8)}^{3} \cdot lim_{x \to 2} \frac{3 x}{5 x - 4}$

Étape 4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

${(3 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 8)}^{3} \cdot lim_{x \to 2} \frac{3 x}{5 x - 4}$

Étape 5

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

${(3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot lim_{x \to 2} \frac{3 x}{5 x - 4}$

Étape 6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

${(3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 lim_{x \to 2} \frac{x}{5 x - 4}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

${(3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 \frac{lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} 5 x - 4}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

${(3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 \frac{lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} 5 x - lim_{x \to 2} 4}$

Étape 9

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

${(3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 \frac{lim_{x \to 2} x}{5 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}$

Étape 10

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

${(3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 \frac{lim_{x \to 2} x}{5 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

${(3 \cdot 2 - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 \frac{lim_{x \to 2} x}{5 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

${(3 \cdot 2 - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 \frac{2}{5 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}$

Étape 11.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

${(3 \cdot 2 - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 \frac{2}{5 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Multipliez $3$ par $2$ .

${(6 - 1 \cdot 8)}^{3} \cdot 3 \frac{2}{5 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Étape 12.1.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

${(6 - 8)}^{3} \cdot 3 \frac{2}{5 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Étape 12.2

Soustrayez $8$ de $6$ .

${(- 2)}^{3} \cdot 3 \frac{2}{5 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Étape 12.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 8 \cdot 3 \frac{2}{5 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Étape 12.4

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$- 24 \frac{2}{5 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Étape 12.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $5 \cdot 2 - 1 \cdot 4$ .

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Étape 12.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $5 \cdot 2$ .

$- 24 \frac{2}{- (- 5 \cdot 2) - 1 \cdot 4}$

Étape 12.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 4$ .

$- 24 \frac{2}{- (- 5 \cdot 2) - 1 (4)}$

Étape 12.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 5 \cdot 2) - 1 (4)$ .

$- 24 \frac{2}{- (- 5 \cdot 2 + 4)}$

Étape 12.5.4

Réécrivez $- (- 5 \cdot 2 + 4)$ comme $- 1 (- 5 \cdot 2 + 4)$ .

$- 24 \frac{2}{- 1 (- 5 \cdot 2 + 4)}$

Étape 12.5.5

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 24 \frac{2 \cdot 1}{- 1 (- 5 \cdot 2 + 4)}$

Étape 12.5.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.5.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 1 (- 5 \cdot 2 + 4)$ .

$- 24 \frac{2 \cdot 1}{2 (- 1 (- 5 + 2))}$

Étape 12.5.6.2

Annulez le facteur commun.

$- 24 \frac{2 \cdot 1}{2 (- 1 (- 5 + 2))}$

Étape 12.5.6.3

Réécrivez l’expression.

$- 24 \frac{1}{- 1 (- 5 + 2)}$

Étape 12.6

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 12.6.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$- 24 \frac{- 1 (- 1)}{- 1 (- 5 + 2)}$

Étape 12.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 24 (- \frac{1}{- 5 + 2})$

Étape 12.7

Additionnez $- 5$ et $2$ .

$- 24 (- \frac{1}{- 3})$

Étape 12.8

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{- 3}$ dans le numérateur.

$- 24 (\frac{- 1}{- 3})$

Étape 12.8.2

Factorisez $3$ à partir de $- 24$ .

$3 (- 8) \frac{- 1}{- 3}$

Étape 12.8.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$3 \cdot - 8 \frac{- 1}{3 \cdot - 1}$

Étape 12.8.4

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot - 8 \frac{- 1}{3 \cdot - 1}$

Étape 12.8.5

Réécrivez l’expression.

$- 8 (\frac{- 1}{- 1})$

Étape 12.9

Associez $- 8$ et $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{- 8 \cdot - 1}{- 1}$

Étape 12.10

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$\frac{8}{- 1}$

Étape 12.11

Divisez $8$ par $- 1$ .

$- 8$