Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} - \frac{2 - x^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 x}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{1}{x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 2 x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 2 x} - \frac{2 - x^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 x}$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{2 - x^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 2 x} - \frac{2 - x^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 x} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 2) (x^{2} - 2 x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{1}{x - 2}$ par $\frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 2 x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2 x}{(x - 2) (x^{2} - 2 x)} - \frac{2 - x^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 x} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{2 - x^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 x}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2 x}{(x - 2) (x^{2} - 2 x)} - \frac{(2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{(x^{2} - 2 x) (x - 2)}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x^{2} - 2 x) (x - 2)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2 x}{(x - 2) (x^{2} - 2 x)} - \frac{(2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2 x - (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x - (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.4

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2 - x^{2} + 2 x \cdot lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (lim_{x \to 2} 2 - lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x) \cdot lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.6

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (2 - lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x) \cdot lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.7

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (2 - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 2 x) \cdot lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (2 - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x) \cdot lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (2 - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x) \cdot (lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.10

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (2 - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.11

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.2.11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{2^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (2 - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{2^{2} - 2 \cdot 2 - (2 - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.11.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{2^{2} - 2 \cdot 2 - (2 - 2^{2} + 2 lim_{x \to 2} x) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.11.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{2^{2} - 2 \cdot 2 - (2 - 2^{2} + 2 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.11.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{2^{2} - 2 \cdot 2 - (2 - 2^{2} + 2 \cdot 2) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.12

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.12.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 2 - (2 - 2^{2} + 2 \cdot 2) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.12.1.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{4 - 4 - (2 - 2^{2} + 2 \cdot 2) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.12.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.12.1.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 - 4 - (2 - 1 \cdot 4 + 2 \cdot 2) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.12.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{4 - 4 - (2 - 4 + 2 \cdot 2) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.12.1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 - 4 - (2 - 4 + 4) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.12.1.4

Soustrayez $4$ de $2$ .

$\frac{4 - 4 - (- 2 + 4) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.12.1.5

Additionnez $- 2$ et $4$ .

$\frac{4 - 4 - 1 \cdot 2 \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.12.1.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{4 - 4 - 2 \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.12.1.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{4 - 4 - 2 \cdot (2 - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.12.1.8

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{4 - 4 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.12.1.9

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{4 - 4 + 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.12.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.2.12.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2 \cdot lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Étape 2.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2) \cdot lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Étape 2.1.3.3

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Étape 2.1.3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 2 x)}$

Étape 2.1.3.5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 2 x)}$

Étape 2.1.3.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x)}$

Étape 2.1.3.7

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.3.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x)}$

Étape 2.1.3.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (2^{2} - 2 lim_{x \to 2} x)}$

Étape 2.1.3.7.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (2^{2} - 2 \cdot 2)}$

Étape 2.1.3.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{0}{(2 - 2) \cdot (2^{2} - 2 \cdot 2)}$

Étape 2.1.3.8.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (2^{2} - 2 \cdot 2)}$

Étape 2.1.3.8.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.8.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 2 \cdot 2)}$

Étape 2.1.3.8.3.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 4)}$

Étape 2.1.3.8.4

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Étape 2.1.3.8.5

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.8.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.9

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2 x - (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 2 x)} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x - (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 2.3.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.4.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]$ .

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Étape 2.3.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [(2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - \frac{d}{d x} [(2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 2 - x^{2} + 2 x$ et $g (x) = x - 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.5.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.5.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.5.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - x^{2} + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.5.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.5.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.5.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) (0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.5.10

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) (0 - (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.5.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) (0 - (2 x) + 2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.5.12

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) \cdot 1 + (x - 2) (0 - (2 x) + 2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.5.13

Multipliez $2 - x^{2} + 2 x$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - (2 - x^{2} + 2 x + (x - 2) (0 - (2 x) + 2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.5.14

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - (2 - x^{2} + 2 x + (x - 2) (0 - 2 x + 2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.5.15

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - (2 - x^{2} + 2 x + (x - 2) (- 2 x + 2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.5.16

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - (2 - x^{2} + 2 x + (x - 2) (- 2 x + 2))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 - - x^{2} - (2 x) - ((x - 2) (- 2 x + 2))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 - - x^{2} - (2 x) - ((x - 2) (- 2 x) + (x - 2) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 - - x^{2} - (2 x) - (x (- 2 x) - 2 (- 2 x) + (x - 2) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 - - x^{2} - (2 x) - (x (- 2 x) - 2 (- 2 x) + x \cdot 2 - 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.5

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 - - x^{2} - (2 x) - (x (- 2 x)) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.6

Associez des termes.

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Étape 2.3.6.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 - - x^{2} - (2 x) - (x (- 2 x)) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.6.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + 1 x^{2} - (2 x) - (x (- 2 x)) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.6.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - (2 x) - (x (- 2 x)) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.6.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x - (x (- 2 x)) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.6.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x - (- 2 (x^{1} x)) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.6.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x - (- 2 (x^{1} x^{1})) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.6.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x - (- 2 x^{1 + 1}) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.6.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x - (- 2 x^{2}) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.6.9

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.6.10

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - (4 x) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.6.11

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 4 x - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.6.12

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 4 x - (2 \cdot x) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.6.13

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 x - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.6.14

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 x - - 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.6.15

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.6.16

Soustrayez $2 x$ de $- 4 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 6 x + 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.6.17

Additionnez $x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 6 x + 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.6.18

Soustrayez $6 x$ de $- 2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + 3 x^{2} - 8 x + 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.6.19

Additionnez $- 2$ et $4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 + 3 x^{2} - 8 x + 2}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.6.20

Soustrayez $8 x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 6 x - 2 + 3 x^{2} + 2}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.6.21

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 6 x + 3 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.6.22

Additionnez $- 6 x + 3 x^{2}$ et $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 6 x + 3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.6.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 2$ et $g (x) = x^{2} - 2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x] + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 2.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 2.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 2.3.10

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 2.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2 \cdot 1) + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 2.3.12

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 2.3.13

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Étape 2.3.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Étape 2.3.15

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x) (1 + 0)}$

Étape 2.3.16

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x) \cdot 1}$

Étape 2.3.17

Multipliez $x^{2} - 2 x$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x}$

Étape 2.3.18

Simplifiez

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Étape 2.3.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Étape 2.3.18.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Étape 2.3.18.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 2 - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Étape 2.3.18.4

Associez des termes.

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Étape 2.3.18.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 (x^{1} x) - 2 (2 x) + x \cdot - 2 - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Étape 2.3.18.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 (x^{1} x^{1}) - 2 (2 x) + x \cdot - 2 - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Étape 2.3.18.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot - 2 - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Étape 2.3.18.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot - 2 - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Étape 2.3.18.4.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 x^{2} - 4 x + x \cdot - 2 - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Étape 2.3.18.4.6

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot x - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Étape 2.3.18.4.7

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 x^{2} - 4 x - 2 x + 4 + x^{2} - 2 x}$

Étape 2.3.18.4.8

Soustrayez $2 x$ de $- 4 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 x^{2} - 6 x + 4 + x^{2} - 2 x}$

Étape 2.3.18.4.9

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{3 x^{2} - 6 x + 4 - 2 x}$

Étape 2.3.18.4.10

Soustrayez $2 x$ de $- 6 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{3 x^{2} - 8 x + 4}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 6 x}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 6 x}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Étape 3.1.2.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 6 x}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Étape 3.1.2.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 6 x}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Étape 3.1.2.4

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Étape 3.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 6 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Étape 3.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Étape 3.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{3 \cdot 4 - 6 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Étape 3.1.2.6.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12 - 6 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Étape 3.1.2.6.1.3

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$\frac{12 - 12}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Étape 3.1.2.6.2

Soustrayez $12$ de $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 8 x + lim_{x \to 2} 4}$

Étape 3.1.3.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 8 x + lim_{x \to 2} 4}$

Étape 3.1.3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 8 x + lim_{x \to 2} 4}$

Étape 3.1.3.4

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 4}$

Étape 3.1.3.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + 4}$

Étape 3.1.3.6

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.3.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + 4}$

Étape 3.1.3.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 4}$

Étape 3.1.3.7

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.7.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.7.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{3 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 4}$

Étape 3.1.3.7.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{0}{12 - 8 \cdot 2 + 4}$

Étape 3.1.3.7.1.3

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$\frac{0}{12 - 16 + 4}$

Étape 3.1.3.7.2

Soustrayez $16$ de $12$ .

$\frac{0}{- 4 + 4}$

Étape 3.1.3.7.3

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.7.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.2

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{3 x^{2} - 8 x + 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Étape 3.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Étape 3.3.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Étape 3.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Étape 3.3.4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Étape 3.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Étape 3.3.4.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Étape 3.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 8 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Étape 3.3.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.6.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Étape 3.3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Étape 3.3.6.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{6 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Étape 3.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Étape 3.3.7.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{6 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Étape 3.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{6 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}$

Étape 3.3.7.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{6 x - 8 + \frac{d}{d x} [4]}$

Étape 3.3.8

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{6 x - 8 + 0}$

Étape 3.3.9

Additionnez $6 x - 8$ et $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{6 x - 8}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun à $6 x - 6$ et $6 x - 8$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x) - 6}{6 x - 8}$

Étape 3.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x) + 2 (- 3)}{6 x - 8}$

Étape 3.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x) + 2 (- 3)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x - 3)}{6 x - 8}$

Étape 3.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x - 3)}{2 (3 x) - 8}$

Étape 3.4.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x - 3)}{2 (3 x) + 2 (- 4)}$

Étape 3.4.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x) + 2 (- 4)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x - 3)}{2 (3 x - 4)}$

Étape 3.4.4.4

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x - 3)}{2 (3 x - 4)}$

Étape 3.4.4.5

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 2} \frac{3 x - 3}{3 x - 4}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x - 3}{lim_{x \to 2} 3 x - 4}$

Étape 4.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 3}{lim_{x \to 2} 3 x - 4}$

Étape 4.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3}{lim_{x \to 2} 3 x - 4}$

Étape 4.4

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 2} 3 x - 4}$

Étape 4.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 4}$

Étape 4.6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}{3 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}$

Étape 4.7

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 2 - 1 \cdot 3}{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 2 - 1 \cdot 3}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 - 1 \cdot 3}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{6 - 3}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $3$ de $6$ .

$\frac{3}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{3}{6 - 1 \cdot 4}$

Étape 6.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{3}{6 - 4}$

Étape 6.2.3

Soustrayez $4$ de $6$ .

$\frac{3}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3}{2}$

Forme décimale :

$1.5$