Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{2} - 16}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 2} 4 x^{2} - 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 4 x^{2} - lim_{x \to 2} 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 1.1.2.1.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 1.1.2.1.4

Évaluez la limite de $16$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{4 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 \cdot 4 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $16$ de $16$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}$

Étape 1.1.3.3

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 4}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}$

Étape 1.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{0}{2^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}$

Étape 1.1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{0}{2^{2} - 4 \cdot 2 + 4}$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{4 - 4 \cdot 2 + 4}$

Étape 1.1.3.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{0}{4 - 8 + 4}$

Étape 1.1.3.6.2

Soustrayez $8$ de $4$ .

$\frac{0}{- 4 + 4}$

Étape 1.1.3.6.3

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{2} - 16}{x^{2} - 4 x + 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x}{2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 1.3.8.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x}{2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Étape 1.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x}{2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}$

Étape 1.3.8.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x}{2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4]}$

Étape 1.3.9

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x}{2 x - 4 + 0}$

Étape 1.3.10

Additionnez $2 x - 4$ et $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{8 x}{2 x - 4}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $8$ et $2 x - 4$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (4 x)}{2 x - 4}$

Étape 1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (4 x)}{2 (x) - 4}$

Étape 1.4.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (4 x)}{2 x + 2 \cdot - 2}$

Étape 1.4.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (4 x)}{2 (x - 2)}$

Étape 1.4.2.4

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 2} \frac{2 (4 x)}{2 (x - 2)}$

Étape 1.4.2.5

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 2} \frac{4 x}{x - 2}$

Étape 2

Comme la fonction approche de $- \infty$ depuis la gauche et $\infty$ depuis la droite, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$