Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 8 x + 15}{x - 5}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 8 x + 15}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 8 x + lim_{x \to 5} 15}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 8 x + lim_{x \to 5} 15}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 1.1.2.3

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 15}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez la limite de $15$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 5} x + 15}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $5$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{5^{2} - 8 lim_{x \to 5} x + 15}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 1.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{5^{2} - 8 \cdot 5 + 15}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.6.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{25 - 8 \cdot 5 + 15}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 1.1.2.6.1.2

Multipliez $- 8$ par $5$ .

$\frac{25 - 40 + 15}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 1.1.2.6.2

Soustrayez $40$ de $25$ .

$\frac{- 15 + 15}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 1.1.2.6.3

Additionnez $- 15$ et $15$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 5}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{0}{5 - 5}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $5$ de $5$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 8 x + 15}{x - 5} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 15]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 15]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 8 x + 15$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [15]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [15]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 8 + \frac{d}{d x} [15]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.5

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 8 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.6

Additionnez $2 x - 8$ et $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 8}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 8}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 8}{1 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.9

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 8}{1 + 0}$

Étape 1.3.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 8}{1}$

Étape 1.4

Divisez $2 x - 8$ par $1$ .

$lim_{x \to 5} 2 x - 8$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$lim_{x \to 5} 2 x - lim_{x \to 5} 8$

Étape 2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 8$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $5$ .

$2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 8$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$2 \cdot 5 - 1 \cdot 8$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 - 1 \cdot 8$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$10 - 8$

Étape 4.2

Soustrayez $8$ de $10$ .

$2$