Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 x^{2}$ , $x = 1$ , $x = 4$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$4 x^{2} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $4 x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.2.1.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = 0$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 1.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 1.2.1.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{4}$

Étape 1.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.1.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x^{2} = 0$

Étape 1.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 1.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 1.2.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 1.2.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.3

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = 0$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, 0)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{1}^{4} 4 x^{2} d x - \int_{1}^{4} 0 d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $1$ et $4$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{1}^{4} 4 x^{2} - (0) d x$

Étape 3.2

Soustrayez $0$ de $4 x^{2}$ .

$\int_{1}^{4} 4 x^{2} d x$

Étape 3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{1}^{4} x^{2} d x$

Étape 3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4})$

Étape 3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Étape 3.5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.5.2.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $4$ et sur $1$ .

$4 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez

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Étape 3.5.2.2.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$4 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 3.5.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 3.5.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{64 - 1}{3}$

Étape 3.5.2.2.4

Soustrayez $1$ de $64$ .

$4 (\frac{63}{3})$

Étape 3.5.2.2.5

Annulez le facteur commun à $63$ et $3$ .

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Étape 3.5.2.2.5.1

Factorisez $3$ à partir de $63$ .

$4 \frac{3 \cdot 21}{3}$

Étape 3.5.2.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.2.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$4 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)}$

Étape 3.5.2.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{21}{1})$

Étape 3.5.2.2.5.2.4

Divisez $21$ par $1$ .

$4 \cdot 21$

Étape 3.5.2.2.6

Multipliez $4$ par $21$ .

$84$

Étape 4