Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x + 2 x^{2} - x^{3}$ , $y = 0$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$3 x + 2 x^{2} - x^{3} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $3 x + 2 x^{2} - x^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$3 u + 2 u^{2} - u^{3} = 0$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $u$ à partir de $3 u + 2 u^{2} - u^{3}$ .

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Étape 1.2.1.2.1

Factorisez $u$ à partir de $3 u$ .

$u \cdot 3 + 2 u^{2} - u^{3} = 0$

Étape 1.2.1.2.2

Factorisez $u$ à partir de $2 u^{2}$ .

$u \cdot 3 + u (2 u) - u^{3} = 0$

Étape 1.2.1.2.3

Factorisez $u$ à partir de $- u^{3}$ .

$u \cdot 3 + u (2 u) + u (- u^{2}) = 0$

Étape 1.2.1.2.4

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot 3 + u (2 u)$ .

$u \cdot (3 + 2 u) + u (- u^{2}) = 0$

Étape 1.2.1.2.5

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot (3 + 2 u) + u (- u^{2})$ .

$u (3 + 2 u - u^{2}) = 0$

Étape 1.2.1.3

Réécrivez $3$ comme $4$ plus $- 1$

$u (4 - 1 + 2 u - u^{2}) = 0$

Étape 1.2.1.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.1.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$u (4 - (1^{2} - 2 u + u^{2})) = 0$

Étape 1.2.1.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot 1 \cdot u$

Étape 1.2.1.4.3

Réécrivez le polynôme.

$u (4 - (1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot u + u^{2})) = 0$

Étape 1.2.1.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 1$ et $b = u$ .

$u (4 - {(1 - u)}^{2}) = 0$

Étape 1.2.1.5

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u (2^{2} - {(1 - u)}^{2}) = 0$

Étape 1.2.1.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = 1 - u$ .

$u ((2 + 1 - u) (2 - (1 - u))) = 0$

Étape 1.2.1.7

Factorisez.

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Étape 1.2.1.7.1

Simplifiez

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Étape 1.2.1.7.1.1

Supprimez les parenthèses inutiles.

$u ((2 + 1 - u) (2 - (1 - u))) = 0$

Étape 1.2.1.7.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$u ((3 - u) (2 - (1 - u))) = 0$

Étape 1.2.1.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$u ((3 - u) (2 - 1 \cdot 1 + u)) = 0$

Étape 1.2.1.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u ((3 - u) (2 - 1 + u)) = 0$

Étape 1.2.1.7.1.5

Multipliez $- - u$ .

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Étape 1.2.1.7.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$u ((3 - u) (2 - 1 + 1 u)) = 0$

Étape 1.2.1.7.1.5.2

Multipliez $u$ par $1$ .

$u ((3 - u) (2 - 1 + u)) = 0$

Étape 1.2.1.7.1.6

Soustrayez $1$ de $2$ .

$u ((3 - u) (1 + u)) = 0$

Étape 1.2.1.7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$u (3 - u) (1 + u) = 0$

Étape 1.2.1.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$x (3 - x) (1 + x) = 0$

Étape 1.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$3 - x = 0$

$1 + x = 0 + y = 0$

Étape 1.2.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $3 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $3 - x$ égal à $0$ .

$3 - x = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $3 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

Étape 1.2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 1.2.4.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 1.2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.2.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x = 3$

Étape 1.2.5

Définissez $1 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $1 + x$ égal à $0$ .

$1 + x = 0$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (3 - x) (1 + x) = 0$ vraie.

$x = 0, 3, - 1$

Étape 1.3

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = 0$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, 0)$

$(3, 0)$

$(- 1, 0)$

$(0, 0)$

$(3, 0)$

$(- 1, 0)$

Étape 2

Simplifiez $3 x + 2 x^{2} - x^{3}$ .

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Étape 2.1

Déplacez $3 x$ .

$y = 2 x^{2} - x^{3} + 3 x$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre $2 x^{2}$ et $- x^{3}$ .

$y = - x^{3} + 2 x^{2} + 3 x$

Étape 3

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} 0 d x - \int_{- 1}^{0} - x^{3} + 2 x^{2} + 3 x d x$

Étape 4

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- 1$ et $0$ .

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Étape 4.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 1}^{0} 0 - (- x^{3} + 2 x^{2} + 3 x) d x$

Étape 4.2

Soustrayez $- x^{3} + 2 x^{2} + 3 x$ de $0$ .

$\int_{- 1}^{0} - (- x^{3} + 2 x^{2} + 3 x) d x$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{- 1}^{0} x^{3} - (2 x^{2}) - (3 x) d x$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Multipliez $- - x^{3}$ .

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Étape 4.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x^{3} - (2 x^{2}) - (3 x)$

Étape 4.4.1.2

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} - (2 x^{2}) - (3 x)$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{3} - 2 x^{2} - (3 x)$

Étape 4.4.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x^{3} - 2 x^{2} - 3 x$

$\int_{- 1}^{0} x^{3} - 2 x^{2} - 3 x d x$

Étape 4.5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{0} x^{3} d x + \int_{- 1}^{0} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - 3 x d x$

Étape 4.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - 3 x d x$

Étape 4.7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - 2 \int_{- 1}^{0} x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - 3 x d x$

Étape 4.8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} - 3 x d x$

Étape 4.9

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} - 3 x d x$

Étape 4.10

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - 3 \int_{- 1}^{0} x d x$

Étape 4.11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0})$

Étape 4.12

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.12.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Étape 4.12.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.12.2.1

Évaluez $\frac{1}{4} x^{4}$ sur $0$ et sur $- 1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Étape 4.12.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $0$ et sur $- 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - 2 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Étape 4.12.2.3

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $0$ et sur $- 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - 2 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4

Simplifiez

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Étape 4.12.2.4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - 2 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$0 - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - 2 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.3

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 1 - 2 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - \frac{1}{4} - 2 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.5

Soustrayez $\frac{1}{4}$ de $0$ .

$- \frac{1}{4} - 2 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{1}{4} - 2 (\frac{0}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.7

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 4.12.2.4.7.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$- \frac{1}{4} - 2 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.12.2.4.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{1}{4} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{4} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{4} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.7.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- \frac{1}{4} - 2 (0 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \frac{1}{4} - 2 (0 - \frac{- 1}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4} - 2 (0 - - \frac{1}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{4} - 2 (0 + 1 (\frac{1}{3})) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.11

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$- \frac{1}{4} - 2 (0 + \frac{1}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.12

Additionnez $0$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{4} - 2 (\frac{1}{3}) - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.13

Associez $- 2$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{- 2}{3} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4} - \frac{2}{3} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.15

Pour écrire $- \frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.16

Pour écrire $- \frac{2}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.17

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.12.2.4.17.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{4 \cdot 3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.17.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$- \frac{3}{12} - \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.17.3

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3}{12} - \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.17.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$- \frac{3}{12} - \frac{2 \cdot 4}{12} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 - 2 \cdot 4}{12} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.12.2.4.19.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{- 3 - 8}{12} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.19.2

Soustrayez $8$ de $- 3$ .

$\frac{- 11}{12} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{11}{12} - 3 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.21

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{11}{12} - 3 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.22

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 4.12.2.4.22.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- \frac{11}{12} - 3 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.22.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.12.2.4.22.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{11}{12} - 3 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.22.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{11}{12} - 3 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.22.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{11}{12} - 3 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.22.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- \frac{11}{12} - 3 (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 4.12.2.4.23

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{11}{12} - 3 (0 - \frac{1}{2})$

Étape 4.12.2.4.24

Soustrayez $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$- \frac{11}{12} - 3 (- \frac{1}{2})$

Étape 4.12.2.4.25

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$- \frac{11}{12} + 3 (\frac{1}{2})$

Étape 4.12.2.4.26

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{11}{12} + \frac{3}{2}$

Étape 4.12.2.4.27

Pour écrire $\frac{3}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{11}{12} + \frac{3}{2} \cdot \frac{6}{6}$

Étape 4.12.2.4.28

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.12.2.4.28.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{11}{12} + \frac{3 \cdot 6}{2 \cdot 6}$

Étape 4.12.2.4.28.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$- \frac{11}{12} + \frac{3 \cdot 6}{12}$

Étape 4.12.2.4.29

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 11 + 3 \cdot 6}{12}$

Étape 4.12.2.4.30

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.12.2.4.30.1

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{- 11 + 18}{12}$

Étape 4.12.2.4.30.2

Additionnez $- 11$ et $18$ .

$\frac{7}{12}$

Étape 5

$A r e a = \int_{0}^{3} - x^{3} + 2 x^{2} + 3 x d x - \int_{0}^{3} 0 d x$

Étape 6

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $3$ .

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Étape 6.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{3} - x^{3} + 2 x^{2} + 3 x - (0) d x$

Étape 6.2

Soustrayez $0$ de $- x^{3} + 2 x^{2} + 3 x$ .

$\int_{0}^{3} - x^{3} + 2 x^{2} + 3 x d x$

Étape 6.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{3} - x^{3} d x + \int_{0}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Étape 6.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{0}^{3} x^{3} d x + \int_{0}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Étape 6.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Étape 6.6

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Étape 6.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 2 \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Étape 6.8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Étape 6.9

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 3 x d x$

Étape 6.10

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 3 \int_{0}^{3} x d x$

Étape 6.11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3})$

Étape 6.12

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.12.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Étape 6.12.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.12.2.1

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $3$ et sur $0$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Étape 6.12.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $3$ et sur $0$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Étape 6.12.2.3

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $3$ et sur $0$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4

Simplifiez

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Étape 6.12.2.4.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 6.12.2.4.3.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.12.2.4.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{1}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- (\frac{81}{4} - 0) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- (\frac{81}{4} + 0) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.5

Additionnez $\frac{81}{4}$ et $0$ .

$- \frac{81}{4} + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.6

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{81}{4} + 2 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.7

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 6.12.2.4.7.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$- \frac{81}{4} + 2 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.12.2.4.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{81}{4} + 2 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{81}{4} + 2 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{81}{4} + 2 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.7.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$- \frac{81}{4} + 2 (9 - \frac{0^{3}}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{81}{4} + 2 (9 - \frac{0}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.9

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 6.12.2.4.9.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$- \frac{81}{4} + 2 (9 - \frac{3 (0)}{3}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.12.2.4.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{81}{4} + 2 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{81}{4} + 2 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{81}{4} + 2 (9 - \frac{0}{1}) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.9.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- \frac{81}{4} + 2 (9 - 0) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.10

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{81}{4} + 2 (9 + 0) + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.11

Additionnez $9$ et $0$ .

$- \frac{81}{4} + 2 \cdot 9 + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.12

Multipliez $2$ par $9$ .

$- \frac{81}{4} + 18 + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.13

Pour écrire $18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{81}{4} + 18 \cdot \frac{4}{4} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.14

Associez $18$ et $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{81}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 81 + 18 \cdot 4}{4} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.12.2.4.16.1

Multipliez $18$ par $4$ .

$\frac{- 81 + 72}{4} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.16.2

Additionnez $- 81$ et $72$ .

$\frac{- 9}{4} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9}{4} + 3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.18

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.12.2.4.19

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2})$

Étape 6.12.2.4.20

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 6.12.2.4.20.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Étape 6.12.2.4.20.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.12.2.4.20.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 6.12.2.4.20.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 6.12.2.4.20.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1})$

Étape 6.12.2.4.20.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2} - 0)$

Étape 6.12.2.4.21

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2} + 0)$

Étape 6.12.2.4.22

Additionnez $\frac{9}{2}$ et $0$ .

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{2})$

Étape 6.12.2.4.23

Associez $3$ et $\frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{4} + \frac{3 \cdot 9}{2}$

Étape 6.12.2.4.24

Multipliez $3$ par $9$ .

$- \frac{9}{4} + \frac{27}{2}$

Étape 6.12.2.4.25

Pour écrire $\frac{27}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{4} + \frac{27}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 6.12.2.4.26

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.12.2.4.26.1

Multipliez $\frac{27}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{4} + \frac{27 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 6.12.2.4.26.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{9}{4} + \frac{27 \cdot 2}{4}$

Étape 6.12.2.4.27

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 9 + 27 \cdot 2}{4}$

Étape 6.12.2.4.28

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.12.2.4.28.1

Multipliez $27$ par $2$ .

$\frac{- 9 + 54}{4}$

Étape 6.12.2.4.28.2

Additionnez $- 9$ et $54$ .

$\frac{45}{4}$

Étape 7

Additionnez les aires $\frac{7}{12} + \frac{45}{4}$ .

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Étape 7.1

Pour écrire $\frac{45}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{12} + \frac{45}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 7.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{45}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{12} + \frac{45 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Étape 7.2.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{7}{12} + \frac{45 \cdot 3}{12}$

Étape 7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 + 45 \cdot 3}{12}$

Étape 7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.1

Multipliez $45$ par $3$ .

$\frac{7 + 135}{12}$

Étape 7.4.2

Additionnez $7$ et $135$ .

$\frac{142}{12}$

Étape 7.5

Annulez le facteur commun à $142$ et $12$ .

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Étape 7.5.1

Factorisez $2$ à partir de $142$ .

$\frac{2 (71)}{12}$

Étape 7.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{2 \cdot 71}{2 \cdot 6}$

Étape 7.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 71}{2 \cdot 6}$

Étape 7.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{71}{6}$

Étape 8