Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 x + 5$ , $y = x^{2}$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$4 x + 5 = x^{2}$

Étape 1.2

Résolvez $4 x + 5 = x^{2}$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$4 x + 5 - x^{2} = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $4 x + 5 - x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1.1.1

Déplacez $5$ .

$4 x - x^{2} + 5 = 0$

Étape 1.2.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre $4 x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 4 x + 5 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 4 x + 5 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $4 x$ .

$- (x^{2}) - (- 4 x) + 5 = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$- (x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 4 x)$ .

$- (x^{2} - 4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Étape 1.2.2.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 4 x) - 1 (- 5)$ .

$- (x^{2} - 4 x - 5) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 4 x - 5$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 5, 1 + y = x^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 5) (x + 1)) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 5) (x + 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0 + y = x^{2}$

Étape 1.2.4

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 1.2.4.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 1.2.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 5) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 5, - 1$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $5$ .

$y = {(5)}^{2}$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $5$ dans $y = {(5)}^{2}$ et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 5^{2}$

Étape 1.3.2.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$y = 25$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$y = {(- 1)}^{2}$

Étape 1.4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = 1$

Étape 1.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(5, 25)$

$(- 1, 1)$

$(5, 25)$

$(- 1, 1)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- 1}^{5} 4 x + 5 d x - \int_{- 1}^{5} x^{2} d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- 1$ et $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 1}^{5} 4 x + 5 - (x^{2}) d x$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $x^{2}$ .

$\int_{- 1}^{5} 4 x + 5 - x^{2} d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{5} 4 x d x + \int_{- 1}^{5} 5 d x + \int_{- 1}^{5} - x^{2} d x$

Étape 3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{- 1}^{5} x d x + \int_{- 1}^{5} 5 d x + \int_{- 1}^{5} - x^{2} d x$

Étape 3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} 5 d x + \int_{- 1}^{5} - x^{2} d x$

Étape 3.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} 5 d x + \int_{- 1}^{5} - x^{2} d x$

Étape 3.7

Appliquez la règle de la constante.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + 5 x]_{- 1}^{5} + \int_{- 1}^{5} - x^{2} d x$

Étape 3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + 5 x]_{- 1}^{5} - \int_{- 1}^{5} x^{2} d x$

Étape 3.9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + 5 x]_{- 1}^{5} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{5})$

Étape 3.10

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.10.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + 5 x]_{- 1}^{5} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{5})$

Étape 3.10.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.10.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $5$ et sur $- 1$ .

$4 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 x]_{- 1}^{5} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{5})$

Étape 3.10.2.2

Évaluez $5 x$ sur $5$ et sur $- 1$ .

$4 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{5})$

Étape 3.10.2.3

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $5$ et sur $- 1$ .

$4 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 3.10.2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.10.2.4.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$4 (\frac{25}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 3.10.2.4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$4 (\frac{25}{2} - \frac{1}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 3.10.2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{25 - 1}{2} + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 3.10.2.4.4

Soustrayez $1$ de $25$ .

$4 (\frac{24}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 3.10.2.4.5

Annulez le facteur commun à $24$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.10.2.4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$4 \frac{2 \cdot 12}{2} + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 3.10.2.4.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.10.2.4.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$4 \frac{2 \cdot 12}{2 (1)} + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 3.10.2.4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1} + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 3.10.2.4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{12}{1}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 3.10.2.4.5.2.4

Divisez $12$ par $1$ .

$4 \cdot 12 + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 3.10.2.4.6

Multipliez $4$ par $12$ .

$48 + 5 \cdot 5 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 3.10.2.4.7

Multipliez $5$ par $5$ .

$48 + 25 - 5 \cdot - 1 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 3.10.2.4.8

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$48 + 25 + 5 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 3.10.2.4.9

Additionnez $25$ et $5$ .

$48 + 30 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 3.10.2.4.10

Additionnez $48$ et $30$ .

$78 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 3.10.2.4.11

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$78 - (\frac{125}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Étape 3.10.2.4.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$78 - (\frac{125}{3} - \frac{- 1}{3})$

Étape 3.10.2.4.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$78 - (\frac{125}{3} - - \frac{1}{3})$

Étape 3.10.2.4.14

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$78 - (\frac{125}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Étape 3.10.2.4.15

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$78 - (\frac{125}{3} + \frac{1}{3})$

Étape 3.10.2.4.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$78 - \frac{125 + 1}{3}$

Étape 3.10.2.4.17

Additionnez $125$ et $1$ .

$78 - \frac{126}{3}$

Étape 3.10.2.4.18

Annulez le facteur commun à $126$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.10.2.4.18.1

Factorisez $3$ à partir de $126$ .

$78 - \frac{3 \cdot 42}{3}$

Étape 3.10.2.4.18.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.10.2.4.18.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$78 - \frac{3 \cdot 42}{3 (1)}$

Étape 3.10.2.4.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$78 - \frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1}$

Étape 3.10.2.4.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$78 - \frac{42}{1}$

Étape 3.10.2.4.18.2.4

Divisez $42$ par $1$ .

$78 - 1 \cdot 42$

Étape 3.10.2.4.19

Multipliez $- 1$ par $42$ .

$78 - 42$

Étape 3.10.2.4.20

Soustrayez $42$ de $78$ .

$36$

Étape 4