Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = x^{2} - 4$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$2 x - x^{2} = x^{2} - 4$

Étape 1.2

Résolvez $2 x - x^{2} = x^{2} - 4$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x - x^{2} - x^{2} = - 4$

Étape 1.2.1.2

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$2 x - 2 x^{2} = - 4$

Étape 1.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x - 2 x^{2} + 4 = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.3.1

Factorisez $- 2$ à partir de $2 x - 2 x^{2} + 4$ .

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Étape 1.2.3.1.1

Remettez dans l’ordre $2 x$ et $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Étape 1.2.3.1.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Étape 1.2.3.1.3

Factorisez $- 2$ à partir de $2 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- x) + 4 = 0$

Étape 1.2.3.1.4

Factorisez $- 2$ à partir de $4$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 = 0$

Étape 1.2.3.1.5

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{2}) - 2 (- x)$ .

$- 2 (x^{2} - x) - 2 \cdot - 2 = 0$

Étape 1.2.3.1.6

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{2} - x) - 2 (- 2)$ .

$- 2 (x^{2} - x - 2) = 0$

Étape 1.2.3.2

Factorisez.

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Étape 1.2.3.2.1

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.3.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1 + y = x^{2} - 4$

Étape 1.2.3.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 2 ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Étape 1.2.3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 2 (x - 2) (x + 1) = 0$

Étape 1.2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0 + y = x^{2} - 4$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.2.6

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 (x - 2) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 2, - 1$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 2$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$y = {(2)}^{2} - 4$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans $y = {(2)}^{2} - 4$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2^{2} - 4$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez $2^{2} - 4$ .

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Étape 1.3.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = 4 - 4$

Étape 1.3.2.2.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$y = 0$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = - 1$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$y = {(- 1)}^{2} - 4$

Étape 1.4.2

Simplifiez ${(- 1)}^{2} - 4$ .

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Étape 1.4.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = 1 - 4$

Étape 1.4.2.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$y = - 3$

Étape 1.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(2, 0)$

$(- 1, - 3)$

$(2, 0)$

$(- 1, - 3)$

Étape 2

Remettez dans l’ordre $2 x$ et $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

Étape 3

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- 1}^{2} - x^{2} + 2 x d x - \int_{- 1}^{2} x^{2} - 4 d x$

Étape 4

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- 1$ et $2$ .

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Étape 4.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 1}^{2} - x^{2} + 2 x - (x^{2} - 4) d x$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{2} + 2 x - x^{2} - - 4$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$- x^{2} + 2 x - x^{2} + 4$

$\int_{- 1}^{2} - x^{2} + 2 x - x^{2} + 4 d x$

Étape 4.3

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\int_{- 1}^{2} - 2 x^{2} + 2 x + 4 d x$

Étape 4.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{2} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Étape 4.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 \int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Étape 4.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 2 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Étape 4.7

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 2 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Étape 4.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Étape 4.9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Étape 4.10

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

Étape 4.11

Appliquez la règle de la constante.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 4 x]_{- 1}^{2}$

Étape 4.12

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.12.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $- 1$ .

$- 2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 4 x]_{- 1}^{2}$

Étape 4.12.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $- 1$ .

$- 2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 x]_{- 1}^{2}$

Étape 4.12.3

Évaluez $4 x$ sur $2$ et sur $- 1$ .

$- 2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4

Simplifiez

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Étape 4.12.4.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{- 1}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 2 (\frac{8}{3} - - \frac{1}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 2 (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.5

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$- 2 (\frac{8}{3} + \frac{1}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 2 \frac{8 + 1}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.7

Additionnez $8$ et $1$ .

$- 2 (\frac{9}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.8

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

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Étape 4.12.4.8.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$- 2 \frac{3 \cdot 3}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.12.4.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- 2 \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 (\frac{3}{1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.8.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$- 2 \cdot 3 + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.9

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$- 6 + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 6 + 2 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.11

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.12.4.11.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 6 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.12.4.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 6 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 6 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 6 + 2 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.11.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$- 6 + 2 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.12

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 6 + 2 (2 - \frac{1}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.13

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 6 + 2 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.14

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 6 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 6 + 2 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.12.4.16.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 6 + 2 \frac{4 - 1}{2} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.16.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$- 6 + 2 (\frac{3}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.17

Associez $2$ et $\frac{3}{2}$ .

$- 6 + \frac{2 \cdot 3}{2} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.18

Multipliez $2$ par $3$ .

$- 6 + \frac{6}{2} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.19

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 4.12.4.19.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$- 6 + \frac{2 \cdot 3}{2} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.19.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.12.4.19.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 6 + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.19.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 6 + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.19.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 6 + \frac{3}{1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.19.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$- 6 + 3 + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.20

Additionnez $- 6$ et $3$ .

$- 3 + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.21

Multipliez $4$ par $2$ .

$- 3 + 8 - 4 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.22

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$- 3 + 8 + 4$

Étape 4.12.4.23

Additionnez $8$ et $4$ .

$- 3 + 12$

Étape 4.12.4.24

Additionnez $- 3$ et $12$ .

$9$

Étape 5