Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x^{3}$ , $x = 1$ , $x = 6$ , $n = 5$

Étape 1

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{1}^{6} 2 x^{3} d x - \int_{1}^{6} 5 d x$

Étape 2

Intégrez pour déterminer l’aire entre $1$ et $6$ .

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Étape 2.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{1}^{6} 2 x^{3} - (5) d x$

Étape 2.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\int_{1}^{6} 2 x^{3} - 5 d x$

Étape 2.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{6} 2 x^{3} d x + \int_{1}^{6} - 5 d x$

Étape 2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{1}^{6} x^{3} d x + \int_{1}^{6} - 5 d x$

Étape 2.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} - 5 d x$

Étape 2.6

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} - 5 d x$

Étape 2.7

Appliquez la règle de la constante.

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{6}) + - 5 x]_{1}^{6}$

Étape 2.8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 2.8.1

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $6$ et sur $1$ .

$2 ((\frac{6^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + - 5 x]_{1}^{6}$

Étape 2.8.2

Évaluez $- 5 x$ sur $6$ et sur $1$ .

$2 (\frac{6^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Étape 2.8.3

Simplifiez

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Étape 2.8.3.1

Élevez $6$ à la puissance $4$ .

$2 (\frac{1296}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Étape 2.8.3.2

Annulez le facteur commun à $1296$ et $4$ .

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Étape 2.8.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $1296$ .

$2 (\frac{4 \cdot 324}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Étape 2.8.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.8.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$2 (\frac{4 \cdot 324}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Étape 2.8.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{4 \cdot 324}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Étape 2.8.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{324}{1} - \frac{1^{4}}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Étape 2.8.3.2.2.4

Divisez $324$ par $1$ .

$2 (324 - \frac{1^{4}}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Étape 2.8.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 (324 - \frac{1}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Étape 2.8.3.4

Pour écrire $324$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$2 (324 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Étape 2.8.3.5

Associez $324$ et $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{324 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Étape 2.8.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{324 \cdot 4 - 1}{4} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Étape 2.8.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.3.7.1

Multipliez $324$ par $4$ .

$2 \frac{1296 - 1}{4} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Étape 2.8.3.7.2

Soustrayez $1$ de $1296$ .

$2 (\frac{1295}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Étape 2.8.3.8

Associez $2$ et $\frac{1295}{4}$ .

$\frac{2 \cdot 1295}{4} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Étape 2.8.3.9

Multipliez $2$ par $1295$ .

$\frac{2590}{4} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Étape 2.8.3.10

Annulez le facteur commun à $2590$ et $4$ .

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Étape 2.8.3.10.1

Factorisez $2$ à partir de $2590$ .

$\frac{2 (1295)}{4} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Étape 2.8.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.8.3.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1295}{2 \cdot 2} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Étape 2.8.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1295}{2 \cdot 2} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Étape 2.8.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1295}{2} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Étape 2.8.3.11

Multipliez $- 5$ par $6$ .

$\frac{1295}{2} - 30 + 5 \cdot 1$

Étape 2.8.3.12

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{1295}{2} - 30 + 5$

Étape 2.8.3.13

Additionnez $- 30$ et $5$ .

$\frac{1295}{2} - 25$

Étape 2.8.3.14

Pour écrire $- 25$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1295}{2} - 25 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.8.3.15

Associez $- 25$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1295}{2} + \frac{- 25 \cdot 2}{2}$

Étape 2.8.3.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1295 - 25 \cdot 2}{2}$

Étape 2.8.3.17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.3.17.1

Multipliez $- 25$ par $2$ .

$\frac{1295 - 50}{2}$

Étape 2.8.3.17.2

Soustrayez $50$ de $1295$ .

$\frac{1245}{2}$

Étape 3