Calcul infinitésimal Exemples

$y = 6 x - x^{2}$ , $y = - 4 x$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$6 x - x^{2} = - 4 x$

Étape 1.2

Résolvez $6 x - x^{2} = - 4 x$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Ajoutez $4 x$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x - x^{2} + 4 x = 0$

Étape 1.2.1.2

Additionnez $6 x$ et $4 x$ .

$- x^{2} + 10 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{2} + 10 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 10 x = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $- x$ à partir de $10 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 10 = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $- x$ à partir de $- x (x) - x (- 10)$ .

$- x (x - 10) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 10 = 0 + y = - 4 x$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 10$ égal à $0$ .

$x - 10 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- x (x - 10) = 0$ vraie.

$x = 0, 10$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = - 4 \cdot 0$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans $y = - 4 \cdot 0$ et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - 4 \cdot 0$

Étape 1.3.2.2

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$y = 0$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = 10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $10$ .

$y = - 4 \cdot 10$

Étape 1.4.2

Remplacez $x$ par $10$ dans $y = - 4 \cdot 10$ et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - 4 \cdot 10$

Étape 1.4.2.2

Multipliez $- 4$ par $10$ .

$y = - 40$

Étape 1.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, 0)$

$(10, - 40)$

$(0, 0)$

$(10, - 40)$

Étape 2

Remettez dans l’ordre $6 x$ et $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 6 x$

Étape 3

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{0}^{10} - x^{2} + 6 x d x - \int_{0}^{10} - 4 x d x$

Étape 4

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{10} - x^{2} + 6 x - (- 4 x) d x$

Étape 4.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\int_{0}^{10} - x^{2} + 6 x + 4 x d x$

Étape 4.3

Additionnez $6 x$ et $4 x$ .

$\int_{0}^{10} - x^{2} + 10 x d x$

Étape 4.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{10} - x^{2} d x + \int_{0}^{10} 10 x d x$

Étape 4.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{0}^{10} x^{2} d x + \int_{0}^{10} 10 x d x$

Étape 4.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{10}) + \int_{0}^{10} 10 x d x$

Étape 4.7

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{10}) + \int_{0}^{10} 10 x d x$

Étape 4.8

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , placez $10$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{10}) + 10 \int_{0}^{10} x d x$

Étape 4.9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{10}) + 10 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{10})$

Étape 4.10

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.10.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{10}) + 10 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10})$

Étape 4.10.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.10.2.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $10$ et sur $0$ .

$- ((\frac{10^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 10 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10})$

Étape 4.10.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $10$ et sur $0$ .

$- (\frac{10^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.10.2.3.1

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$- (\frac{1000}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- (\frac{1000}{3} - \frac{0}{3}) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.3.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.10.2.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$- (\frac{1000}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.10.2.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- (\frac{1000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{1000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{1000}{3} - \frac{0}{1}) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.3.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- (\frac{1000}{3} - 0) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- (\frac{1000}{3} + 0) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.3.5

Additionnez $\frac{1000}{3}$ et $0$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.3.6

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (\frac{100}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.3.7

Annulez le facteur commun à $100$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.10.2.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $100$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (\frac{2 \cdot 50}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.10.2.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1000}{3} + 10 (\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1000}{3} + 10 (\frac{50}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.3.7.2.4

Divisez $50$ par $1$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (50 - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.10.2.3.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (50 - \frac{0}{2})$

Étape 4.10.2.3.9

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.10.2.3.9.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (50 - \frac{2 (0)}{2})$

Étape 4.10.2.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.10.2.3.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (50 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 4.10.2.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1000}{3} + 10 (50 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 4.10.2.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1000}{3} + 10 (50 - \frac{0}{1})$

Étape 4.10.2.3.9.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (50 - 0)$

Étape 4.10.2.3.10

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (50 + 0)$

Étape 4.10.2.3.11

Additionnez $50$ et $0$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 \cdot 50$

Étape 4.10.2.3.12

Multipliez $10$ par $50$ .

$- \frac{1000}{3} + 500$

Étape 4.10.2.3.13

Pour écrire $500$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1000}{3} + 500 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 4.10.2.3.14

Associez $500$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1000}{3} + \frac{500 \cdot 3}{3}$

Étape 4.10.2.3.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1000 + 500 \cdot 3}{3}$

Étape 4.10.2.3.16

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.10.2.3.16.1

Multipliez $500$ par $3$ .

$\frac{- 1000 + 1500}{3}$

Étape 4.10.2.3.16.2

Additionnez $- 1000$ et $1500$ .

$\frac{500}{3}$

Étape 5