Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (x)$ , $y = x^{2} - 2$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\ln (x) = x^{2} - 2$

Étape 1.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx 0.13793482, 1.56446225 + y = x^{2} - 2$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 0.13793482$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $0.13793482$ .

$y = {(0.13793482)}^{2} - 2$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $0.13793482$ dans $y = {(0.13793482)}^{2} - 2$ et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = {0.13793482}^{2} - 2$

Étape 1.3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0.13793482)}^{2} - 2$

Étape 1.3.2.3

Simplifiez ${(0.13793482)}^{2} - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.3.1

Élevez $0.13793482$ à la puissance $2$ .

$y = 0.01902601 - 2$

Étape 1.3.2.3.2

Soustrayez $2$ de $0.01902601$ .

$y = - 1.98097398$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = 1.56446225$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $1.56446225$ .

$y = {(1.56446225)}^{2} - 2$

Étape 1.4.2

Remplacez $x$ par $1.56446225$ dans $y = {(1.56446225)}^{2} - 2$ et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = {1.56446225}^{2} - 2$

Étape 1.4.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = {(1.56446225)}^{2} - 2$

Étape 1.4.2.3

Simplifiez ${(1.56446225)}^{2} - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.3.1

Élevez $1.56446225$ à la puissance $2$ .

$y = 2.44754216 - 2$

Étape 1.4.2.3.2

Soustrayez $2$ de $2.44754216$ .

$y = 0.44754216$

Étape 1.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0.13793482, - 1.98097398)$

$(1.56446225, 0.44754216)$

$(0.13793482, - 1.98097398)$

$(1.56446225, 0.44754216)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) d x - \int_{0.13793482}^{1.56446225} x^{2} - 2 d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0.13793482$ et $1.56446225$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) - (x^{2} - 2) d x$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x) - x^{2} - - 2$

Étape 3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\ln (x) - x^{2} + 2$

$\int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) - x^{2} + 2 d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Étape 3.4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = 1$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} x \frac{1}{x} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Étape 3.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} \frac{x}{x} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} \frac{x}{x} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Étape 3.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Étape 3.6

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Étape 3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - \int_{0.13793482}^{1.56446225} x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Étape 3.8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0.13793482}^{1.56446225}) + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Étape 3.9

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225}) + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Étape 3.10

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225}) + 2 x]_{0.13793482}^{1.56446225}$

Étape 3.11

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.1

Associez $\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225}$ et $2 x]_{0.13793482}^{1.56446225}$ .

$\ln (x) x + 2 x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225})$

Étape 3.11.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.2.1

Évaluez $\ln (x) x + 2 x$ sur $1.56446225$ et sur $0.13793482$ .

$(\ln (1.56446225) \cdot 1.56446225 + 2 \cdot 1.56446225) - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225})$

Étape 3.11.2.2

Évaluez $x$ sur $1.56446225$ et sur $0.13793482$ .

$(\ln (1.56446225) \cdot 1.56446225 + 2 \cdot 1.56446225) - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225})$

Étape 3.11.2.3

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $1.56446225$ et sur $0.13793482$ .

$(\ln (1.56446225) \cdot 1.56446225 + 2 \cdot 1.56446225) - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Étape 3.11.2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.2.4.1

Multipliez $\ln (1.56446225)$ par $1.56446225$ .

$0.70016281 + 2 \cdot 1.56446225 - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Étape 3.11.2.4.2

Multipliez $2$ par $1.56446225$ .

$0.70016281 + 3.12892451 - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Étape 3.11.2.4.3

Additionnez $0.70016281$ et $3.12892451$ .

$3.82908733 - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Étape 3.11.2.4.4

Multipliez $\ln (0.13793482)$ par $0.13793482$ .

$3.82908733 - (- 0.2732453 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Étape 3.11.2.4.5

Multipliez $2$ par $0.13793482$ .

$3.82908733 - (- 0.2732453 + 0.27586965) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Étape 3.11.2.4.6

Additionnez $- 0.2732453$ et $0.27586965$ .

$3.82908733 - 1 \cdot 0.00262435 - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Étape 3.11.2.4.7

Multipliez $- 1$ par $0.00262435$ .

$3.82908733 - 0.00262435 - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Étape 3.11.2.4.8

Soustrayez $0.00262435$ de $3.82908733$ .

$3.82646298 - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Étape 3.11.2.4.9

Soustrayez $0.13793482$ de $1.56446225$ .

$3.82646298 - 1 \cdot 1.42652743 - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Étape 3.11.2.4.10

Multipliez $- 1$ par $1.42652743$ .

$3.82646298 - 1.42652743 - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Étape 3.11.2.4.11

Soustrayez $1.42652743$ de $3.82646298$ .

$2.39993555 - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Étape 3.11.2.4.12

Élevez $1.56446225$ à la puissance $3$ .

$2.39993555 - (\frac{3.82908733}{3} - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Étape 3.11.2.4.13

Élevez $0.13793482$ à la puissance $3$ .

$2.39993555 - (\frac{3.82908733}{3} - \frac{0.00262435}{3})$

Étape 3.11.2.4.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2.39993555 - \frac{3.82908733 - 0.00262435}{3}$

Étape 3.11.2.4.15

Soustrayez $0.00262435$ de $3.82908733$ .

$2.39993555 - \frac{3.82646298}{3}$

Étape 3.11.2.4.16

Pour écrire $2.39993555$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2.39993555 \cdot \frac{3}{3} - \frac{3.82646298}{3}$

Étape 3.11.2.4.17

Associez $2.39993555$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2.39993555 \cdot 3}{3} - \frac{3.82646298}{3}$

Étape 3.11.2.4.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2.39993555 \cdot 3 - 3.82646298}{3}$

Étape 3.11.2.4.19

Multipliez $2.39993555$ par $3$ .

$\frac{7.19980666 - 3.82646298}{3}$

Étape 3.11.2.4.20

Soustrayez $3.82646298$ de $7.19980666$ .

$\frac{3.37334367}{3}$

Étape 3.12

Divisez $3.37334367$ par $3$ .

$1.12444789$

Étape 4