Calcul infinitésimal Exemples

Trouver l'aire entre les courbes y=x^2+x , x=6
,
Étape 1
Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.
Étape 1.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 1.2.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.2
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 1.2.3
Définissez égal à .
Étape 1.2.4
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.4.1
Définissez égal à .
Étape 1.2.4.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.5
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 1.3
Remplacez par .
Étape 1.4
La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.
Étape 2
L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.
Étape 3
Intégrez pour déterminer l’aire entre et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Associez les intégrales en une intégrale unique.
Étape 3.2
Soustrayez de .
Étape 3.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.4
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 3.5
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 3.6
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 3.7
Associez et .
Étape 3.8
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 3.9
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 3.10
Simplifiez la réponse.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.10.1
Associez et .
Étape 3.10.2
Remplacez et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.10.2.1
Évaluez sur et sur .
Étape 3.10.2.2
Évaluez sur et sur .
Étape 3.10.2.3
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.10.2.3.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 3.10.2.3.2
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.10.2.3.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.10.2.3.2.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.10.2.3.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.10.2.3.2.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 3.10.2.3.2.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 3.10.2.3.2.2.4
Divisez par .
Étape 3.10.2.3.3
Élevez à la puissance .
Étape 3.10.2.3.4
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 3.10.2.3.5
Multipliez par .
Étape 3.10.2.3.6
Multipliez par .
Étape 3.10.2.3.7
Additionnez et .
Étape 3.10.2.3.8
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 3.10.2.3.9
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.10.2.3.9.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.10.2.3.9.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.10.2.3.9.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.10.2.3.9.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 3.10.2.3.9.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 3.10.2.3.9.2.4
Divisez par .
Étape 3.10.2.3.10
Élevez à la puissance .
Étape 3.10.2.3.11
Soustrayez de .
Étape 3.10.2.3.12
Multipliez par .
Étape 3.10.2.3.13
Multipliez par .
Étape 3.10.2.3.14
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 3.10.2.3.15
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 3.10.2.3.16
Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun , en multipliant chacun par un facteur approprié de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.10.2.3.16.1
Multipliez par .
Étape 3.10.2.3.16.2
Multipliez par .
Étape 3.10.2.3.16.3
Multipliez par .
Étape 3.10.2.3.16.4
Multipliez par .
Étape 3.10.2.3.17
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 3.10.2.3.18
Additionnez et .
Étape 4
L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.
Étape 5
Intégrez pour déterminer l’aire entre et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Associez les intégrales en une intégrale unique.
Étape 5.2
Soustrayez de .
Étape 5.3
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 5.4
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 5.5
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 5.6
Simplifiez la réponse.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.1
Associez et .
Étape 5.6.2
Remplacez et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.2.1
Évaluez sur et sur .
Étape 5.6.2.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.6.2.2.2
Associez et .
Étape 5.6.2.2.3
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.2.2.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.6.2.2.3.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.2.2.3.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.6.2.2.3.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.6.2.2.3.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 5.6.2.2.3.2.4
Divisez par .
Étape 5.6.2.2.4
Élevez à la puissance .
Étape 5.6.2.2.5
Associez et .
Étape 5.6.2.2.6
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.2.2.6.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.6.2.2.6.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.2.2.6.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.6.2.2.6.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.6.2.2.6.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 5.6.2.2.6.2.4
Divisez par .
Étape 5.6.2.2.7
Additionnez et .
Étape 5.6.2.2.8
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 5.6.2.2.9
Multipliez par .
Étape 5.6.2.2.10
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 5.6.2.2.11
Multipliez par .
Étape 5.6.2.2.12
Additionnez et .
Étape 5.6.2.2.13
Multipliez par .
Étape 5.6.2.2.14
Additionnez et .
Étape 6
Additionnez les aires .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 6.2
Associez et .
Étape 6.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 6.4
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.4.1
Multipliez par .
Étape 6.4.2
Additionnez et .
Étape 7