Calcul infinitésimal Exemples

$y = \cos (11 x)$ , $y = 0$ , $x = \frac{π}{22}$ , $x = \frac{π}{11}$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\cos (11 x) = 0$

Étape 1.2

Résolvez $\cos (11 x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$11 x = \arccos (0)$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$11 x = \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $11 x = \frac{π}{2}$ par $11$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $11 x = \frac{π}{2}$ par $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{11}$

Étape 1.2.3.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{11}$ .

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Étape 1.2.3.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{11}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 11}$

Étape 1.2.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $11$ .

$x = \frac{π}{22}$

Étape 1.2.4

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$11 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.5

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Simplifiez

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Étape 1.2.5.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$11 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.5.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$11 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$11 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 1.2.5.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$11 x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 1.2.5.1.5

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$11 x = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.2.5.2

Divisez chaque terme dans $11 x = \frac{3 π}{2}$ par $11$ et simplifiez.

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Étape 1.2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $11 x = \frac{3 π}{2}$ par $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

Étape 1.2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 1.2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

Étape 1.2.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

Étape 1.2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{11}$

Étape 1.2.5.2.3.2

Multipliez $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{11}$ .

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Étape 1.2.5.2.3.2.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{1}{11}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 11}$

Étape 1.2.5.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $11$ .

$x = \frac{3 π}{22}$

Étape 1.2.6

Déterminez la période de $\cos (11 x)$ .

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Étape 1.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.6.2

Remplacez $b$ par $11$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 11 |}$

Étape 1.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $11$ est $11$ .

$\frac{2 π}{11}$

Étape 1.2.7

La période de la fonction $\cos (11 x)$ est $\frac{2 π}{11}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{2 π}{11}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{22} + \frac{2 π n}{11}, \frac{3 π}{22} + \frac{2 π n}{11}$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.8

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Remplacez $x$ par $\frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$ .

$y = 0$

Étape 1.4

Indiquez toutes les solutions.

$y = 0, x = \frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} 0 d x - \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} \cos (11 x) d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $\frac{π}{22}$ et $\frac{π}{11}$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} 0 - (\cos (11 x)) d x$

Étape 3.2

Soustrayez $\cos (11 x)$ de $0$ .

$\int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} - \cos (11 x) d x$

Étape 3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} \cos (11 x) d x$

Étape 3.4

Laissez $u = 11 x$ . Alors $d u = 11 d x$ , donc $\frac{1}{11} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.4.1

Laissez $u = 11 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.4.1.1

Différenciez $11 x$ .

$\frac{d}{d x} [11 x]$

Étape 3.4.1.2

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11 x$ par rapport à $x$ est $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$11 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$11 \cdot 1$

Étape 3.4.1.4

Multipliez $11$ par $1$ .

$11$

Étape 3.4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 11 x$ .

$u_{lower} = 11 \frac{π}{22}$

Étape 3.4.3

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $11$ à partir de $22$ .

$u_{lower} = 11 \frac{π}{11 (2)}$

Étape 3.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = 11 \frac{π}{11 \cdot 2}$

Étape 3.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Étape 3.4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 11 x$ .

$u_{upper} = 11 \frac{π}{11}$

Étape 3.4.5

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 3.4.5.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 11 \frac{π}{11}$

Étape 3.4.5.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = π$

Étape 3.4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

Étape 3.4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) \frac{1}{11} d u$

Étape 3.5

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{11}$ .

$- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{\cos (u)}{11} d u$

Étape 3.6

Comme $\frac{1}{11}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{11}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{11} \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) d u)$

Étape 3.7

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$- \frac{1}{11} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}$

Étape 3.8

Évaluez $\sin (u)$ sur $π$ et sur $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 3.9

Simplifiez

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Étape 3.9.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - 1 \cdot 1)$

Étape 3.9.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - 1)$

Étape 3.10

Simplifiez

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Étape 3.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.10.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- \frac{1}{11} (\sin (0) - 1)$

Étape 3.10.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- \frac{1}{11} (0 - 1)$

Étape 3.10.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{11} \cdot - 1$

Étape 3.10.3

Multipliez $- \frac{1}{11} \cdot - 1$ .

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Étape 3.10.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{11})$

Étape 3.10.3.2

Multipliez $\frac{1}{11}$ par $1$ .

$\frac{1}{11}$

Étape 4