Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2}$ , $y = 19 x + 52$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} = 19 x + 52$

Étape 1.2

Résolvez $x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} = 19 x + 52$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $19 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 19 x = 52$

Étape 1.2.2

Soustrayez $52$ des deux côtés de l’équation.

$x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 19 x - 52 = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.3.1

Factorisez $x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 19 x - 52$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.2.3.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13$

$q = \pm 1 + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13 + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.2.3.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

${(- 1)}^{4} - 8 {(- 1)}^{3} + 24 {(- 1)}^{2} - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 - 8 {(- 1)}^{3} + 24 {(- 1)}^{2} - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.1.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$1 - 8 \cdot - 1 + 24 {(- 1)}^{2} - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.1.3.4

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$1 + 8 + 24 {(- 1)}^{2} - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.1.3.5

Additionnez $1$ et $8$ .

$9 + 24 {(- 1)}^{2} - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.1.3.6

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$9 + 24 \cdot 1 - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.1.3.7

Multipliez $24$ par $1$ .

$9 + 24 - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.1.3.8

Additionnez $9$ et $24$ .

$33 - 19 \cdot - 1 - 52 + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.1.3.9

Multipliez $- 19$ par $- 1$ .

$33 + 19 - 52 + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.1.3.10

Additionnez $33$ et $19$ .

$52 - 52 + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.1.3.11

Soustrayez $52$ de $52$ .

$0 + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 19 x - 52}{x + 1} + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.1.5

Divisez $x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 19 x - 52$ par $x + 1$ .

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Étape 1.2.3.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

Étape 1.2.3.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

Étape 1.2.3.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

Étape 1.2.3.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{4} + x^{3}$

				$x^{3}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$19 x$	-	$52$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$

Étape 1.2.3.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{3}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$19 x$	-	$52$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$9 x^{3}$

Étape 1.2.3.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

Étape 1.2.3.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 9 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

Étape 1.2.3.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{3}$	-	$9 x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$19 x$	-	$52$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$9 x^{3}$	+	$24 x^{2}$
					-	$9 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

Étape 1.2.3.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 9 x^{3} - 9 x^{2}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

Étape 1.2.3.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

Étape 1.2.3.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

Étape 1.2.3.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $33 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

Étape 1.2.3.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

Étape 1.2.3.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $33 x^{2} + 33 x$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

Étape 1.2.3.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

$52 x$

Étape 1.2.3.1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

$52 x$

$52$

Étape 1.2.3.1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 52 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$52$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

$52 x$

$52$

Étape 1.2.3.1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$8 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$19 x$	-	$52$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$9 x^{3}$	+	$24 x^{2}$
					+	$9 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
							+	$33 x^{2}$	-	$19 x$
							-	$33 x^{2}$	-	$33 x$
									-	$52 x$	-	$52$
									-	$52 x$	-	$52$

Étape 1.2.3.1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 52 x - 52$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$52$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

$52 x$

$52$

$52 x$

$52$

Étape 1.2.3.1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$52$

$x$

$1$

$x^{4}$

$8 x^{3}$

$24 x^{2}$

$19 x$

$52$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{3}$

$24 x^{2}$

$9 x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x^{2}$

$19 x$

$33 x^{2}$

$33 x$

$52 x$

$52$

$52 x$

$52$

$0$

Étape 1.2.3.1.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52 + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.1.6

Écrivez $x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 19 x - 52$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 1) (x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52) = 0$

Étape 1.2.3.2

Factorisez $x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.2.3.2.1

Factorisez $x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.2.3.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13$

$q = \pm 1 + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13 + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.2.1.3

Remplacez $4$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $4$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.2.3.2.1.3.1

Remplacez $4$ dans le polynôme.

$4^{3} - 9 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 52 + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.2.1.3.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$64 - 9 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 52 + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.2.1.3.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$64 - 9 \cdot 16 + 33 \cdot 4 - 52 + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.2.1.3.4

Multipliez $- 9$ par $16$ .

$64 - 144 + 33 \cdot 4 - 52 + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.2.1.3.5

Soustrayez $144$ de $64$ .

$- 80 + 33 \cdot 4 - 52 + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.2.1.3.6

Multipliez $33$ par $4$ .

$- 80 + 132 - 52 + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.2.1.3.7

Additionnez $- 80$ et $132$ .

$52 - 52 + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.2.1.3.8

Soustrayez $52$ de $52$ .

$0 + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.2.1.4

Comme $4$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 4$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52}{x - 4} + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.2.1.5

Divisez $x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52$ par $x - 4$ .

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Étape 1.2.3.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$33 x$

$52$

Étape 1.2.3.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$

Étape 1.2.3.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 4 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$

Étape 1.2.3.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 5 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$

Étape 1.2.3.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$20 x$

Étape 1.2.3.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 5 x^{2} + 20 x$

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$

Étape 1.2.3.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$

Étape 1.2.3.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$	-	$52$

Étape 1.2.3.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $13 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$13$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$	-	$52$

Étape 1.2.3.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$13$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$	-	$52$
							+	$13 x$	-	$52$

Étape 1.2.3.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $13 x - 52$

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$13$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$	-	$52$
							-	$13 x$	+	$52$

Étape 1.2.3.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$13$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$33 x$	-	$52$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$13 x$	-	$52$
							-	$13 x$	+	$52$
										$0$

Étape 1.2.3.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 5 x + 13 + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.3.2.1.6

Écrivez $x^{3} - 9 x^{2} + 33 x - 52$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 1) ((x - 4) (x^{2} - 5 x + 13)) = 0$

Étape 1.2.3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 1) (x - 4) (x^{2} - 5 x + 13) = 0$

Étape 1.2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x^{2} - 5 x + 13 = 0 + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.2.6

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 1.2.6.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 1.2.7

Définissez $x^{2} - 5 x + 13$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.1

Définissez $x^{2} - 5 x + 13$ égal à $0$ .

$x^{2} - 5 x + 13 = 0$

Étape 1.2.7.2

Résolvez $x^{2} - 5 x + 13 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.7.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 5$ et $c = 13$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1} + y = 19 x + 52$

Étape 1.2.7.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.2.3.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Étape 1.2.7.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $13$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 52}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3.1.3

Soustrayez $52$ de $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.7.2.3.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{5 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.7.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.2.4.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Étape 1.2.7.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $13$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 52}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.4.1.3

Soustrayez $52$ de $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.4.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.4.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.2.4.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.4.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{5 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.4.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.7.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.7.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.7.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.2.5.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Étape 1.2.7.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $13$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 52}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.5.1.3

Soustrayez $52$ de $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.5.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.5.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.7.2.5.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.5.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{5 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.5.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.7.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.7.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x - 4) (x^{2} - 5 x + 13) = 0$ vraie.

$x = - 1, 4, \frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = - 1$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$y = 19 (- 1) + 52$

Étape 1.3.2

Simplifiez $19 (- 1) + 52$ .

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Étape 1.3.2.1

Multipliez $19$ par $- 1$ .

$y = - 19 + 52$

Étape 1.3.2.2

Additionnez $- 19$ et $52$ .

$y = 33$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = 4$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$y = 19 (4) + 52$

Étape 1.4.2

Simplifiez $19 (4) + 52$ .

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Étape 1.4.2.1

Multipliez $19$ par $4$ .

$y = 76 + 52$

Étape 1.4.2.2

Additionnez $76$ et $52$ .

$y = 128$

Étape 1.5

Évaluez $y$ quand $x = \frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.5.1

Remplacez $x$ par $\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = 19 (\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$

Étape 1.5.2

Remplacez $x$ par $\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$ dans $y = 19 (\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$ et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1

Multipliez $19$ par $\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = 19 (\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$

Étape 1.5.2.2

Simplifiez $19 (\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$ .

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Étape 1.5.2.2.1

Associez $19$ et $\frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{19 (5 + 3 i \sqrt{3})}{2} + 52$

Étape 1.5.2.2.2

Pour écrire $52$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{19 (5 + 3 i \sqrt{3})}{2} + 52 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.5.2.2.3

Associez $52$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{19 (5 + 3 i \sqrt{3})}{2} + \frac{52 \cdot 2}{2}$

Étape 1.5.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{199 + 57 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.6

Évaluez $y$ quand $x = \frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.6.1

Remplacez $x$ par $\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = 19 (\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$

Étape 1.6.2

Remplacez $x$ par $\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$ dans $y = 19 (\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$ et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.2.1

Multipliez $19$ par $\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = 19 (\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$

Étape 1.6.2.2

Simplifiez $19 (\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}) + 52$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.2.2.1

Associez $19$ et $\frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{19 (5 - 3 i \sqrt{3})}{2} + 52$

Étape 1.6.2.2.2

Pour écrire $52$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{19 (5 - 3 i \sqrt{3})}{2} + 52 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.6.2.2.3

Associez $52$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{19 (5 - 3 i \sqrt{3})}{2} + \frac{52 \cdot 2}{2}$

Étape 1.6.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{199 - 57 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.7

Indiquez toutes les solutions.

$y = 33, x = - 1$

$y = 128, x = 4$

$y = \frac{199 + 57 i \sqrt{3}}{2}, x = \frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = \frac{199 - 57 i \sqrt{3}}{2}, x = \frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 33, x = - 1$

$y = 128, x = 4$

$y = \frac{199 + 57 i \sqrt{3}}{2}, x = \frac{5 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = \frac{199 - 57 i \sqrt{3}}{2}, x = \frac{5 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2

La surface entre les courbes données n’est pas délimitée.

Aire non délimitée

Étape 3