Calcul infinitésimal Exemples

$x - 2 y = - 5$ , $x^{2} + y^{2} = 25$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$x = - 5 + 2 y$

$x^{2} + y^{2} = 25$

Étape 1.2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- 5 + 2 y$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $x^{2} + y^{2} = 25$ par $- 5 + 2 y$ .

${(- 5 + 2 y)}^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.1

Simplifiez ${(- 5 + 2 y)}^{2} + y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.1.1.1

Réécrivez ${(- 5 + 2 y)}^{2}$ comme $(- 5 + 2 y) (- 5 + 2 y)$ .

$(- 5 + 2 y) (- 5 + 2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.2.2.1.1.2

Développez $(- 5 + 2 y) (- 5 + 2 y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 (- 5 + 2 y) + 2 y (- 5 + 2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.2.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 \cdot - 5 - 5 (2 y) + 2 y (- 5 + 2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.2.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 \cdot - 5 - 5 (2 y) + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$- 5 \cdot - 5 - 5 (2 y) + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.2.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.1.1.3.1.1

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$25 - 5 (2 y) + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.2.2.1.1.3.1.2

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$25 - 10 y + 2 y \cdot - 5 + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.2.2.1.1.3.1.3

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$25 - 10 y - 10 y + 2 y (2 y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.2.2.1.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 y \cdot y) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.2.2.1.1.3.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1.1.3.1.5.1

Déplacez $y$ .

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 (y \cdot y)) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.2.2.1.1.3.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 10 y - 10 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.2.2.1.1.3.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$25 - 10 y - 10 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 10 y - 10 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.2.2.1.1.3.2

Soustrayez $10 y$ de $- 10 y$ .

$25 - 20 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 4 y^{2} + y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.2.2.1.2

Additionnez $4 y^{2}$ et $y^{2}$ .

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

$25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.3

Résolvez $y$ dans $25 - 20 y + 5 y^{2} = 25$ .

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Étape 1.3.1

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’équation.

$25 - 20 y + 5 y^{2} - 25 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.3.2

Associez les termes opposés dans $25 - 20 y + 5 y^{2} - 25$ .

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Étape 1.3.2.1

Soustrayez $25$ de $25$ .

$- 20 y + 5 y^{2} + 0 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.3.2.2

Additionnez $- 20 y + 5 y^{2}$ et $0$ .

$- 20 y + 5 y^{2} = 0$

$x = - 5 + 2 y$

$- 20 y + 5 y^{2} = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.3.3

Factorisez $- 5 y$ à partir de $- 20 y + 5 y^{2}$ .

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Étape 1.3.3.1

Remettez dans l’ordre $- 20 y$ et $5 y^{2}$ .

$5 y^{2} - 20 y = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.3.3.2

Factorisez $- 5 y$ à partir de $5 y^{2}$ .

$- 5 y (- y) - 20 y = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.3.3.3

Factorisez $- 5 y$ à partir de $- 20 y$ .

$- 5 y (- y) - 5 y \cdot 4 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.3.3.4

Factorisez $- 5 y$ à partir de $- 5 y (- y) - 5 y (4)$ .

$- 5 y (- y + 4) = 0$

$x = - 5 + 2 y$

$- 5 y (- y + 4) = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y = 0$

$- y + 4 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.3.5

Définissez $y$ égal à $0$ .

$y = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.3.6

Définissez $- y + 4$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.6.1

Définissez $- y + 4$ égal à $0$ .

$- y + 4 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.3.6.2

Résolvez $- y + 4 = 0$ pour $y$ .

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Étape 1.3.6.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- y = - 4$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.3.6.2.2

Divisez chaque terme dans $- y = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.3.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- y = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.3.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.6.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.3.6.2.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{- 4}{- 1}$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.3.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.6.2.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 4$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 5 y (- y + 4) = 0$ vraie.

$y = 0, 4$

$x = - 5 + 2 y$

$y = 0, 4$

$x = - 5 + 2 y$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $0$ dans chaque équation.

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Étape 1.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = - 5 + 2 y$ par $0$ .

$x = - 5 + 2 (0)$

$y = 0$

Étape 1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez $- 5 + 2 (0)$ .

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Étape 1.4.2.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$x = - 5 + 0$

$y = 0$

Étape 1.4.2.1.2

Additionnez $- 5$ et $0$ .

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

$x = - 5$

$y = 0$

Étape 1.5

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $4$ dans chaque équation.

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Étape 1.5.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = - 5 + 2 y$ par $4$ .

$x = - 5 + 2 (4)$

$y = 4$

Étape 1.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.2.1

Simplifiez $- 5 + 2 (4)$ .

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Étape 1.5.2.1.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = - 5 + 8$

$y = 4$

Étape 1.5.2.1.2

Additionnez $- 5$ et $8$ .

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

Étape 1.6

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(- 5, 0)$

$(3, 4)$

$(- 5, 0)$

$(3, 4)$

Étape 2

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$x = - 5 + 2 y$

Étape 3

Résolvez $x^{2} + y^{2} = 25$ en termes de $x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 25 - y^{2}$

Étape 3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25 - y^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{25 - y^{2}}$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2} - y^{2}}$

Étape 3.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

$x = - \sqrt{(5 + y) (5 - y)}$

Étape 4

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} d y - \int_{0}^{4} - 5 + 2 y d y$

Étape 5

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $4$ .

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Étape 5.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} - (- 5 + 2 y) d y$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{(5 + y) (5 - y)} - - 5 - (2 y)$

Étape 5.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\sqrt{(5 + y) (5 - y)} + 5 - (2 y)$

Étape 5.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\sqrt{(5 + y) (5 - y)} + 5 - 2 y$

$\int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} + 5 - 2 y d y$

Étape 5.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{4} \sqrt{(5 + y) (5 - y)} d y + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.4

Complétez le carré.

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Étape 5.4.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1.1

Développez $(5 + y) (5 - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.4.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (5 - y) + y (5 - y)$

Étape 5.4.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 \cdot 5 + 5 (- y) + y (5 - y)$

Étape 5.4.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 \cdot 5 + 5 (- y) + y \cdot 5 + y (- y)$

Étape 5.4.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.2.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$25 + 5 (- y) + y \cdot 5 + y (- y)$

Étape 5.4.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$25 - 5 y + y \cdot 5 + y (- y)$

Étape 5.4.1.2.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $y$ .

$25 - 5 y + 5 \cdot y + y (- y)$

Étape 5.4.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$25 - 5 y + 5 y - y \cdot y$

Étape 5.4.1.2.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1.2.1.5.1

Déplacez $y$ .

$25 - 5 y + 5 y - (y \cdot y)$

Étape 5.4.1.2.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$25 - 5 y + 5 y - y^{2}$

Étape 5.4.1.2.2

Additionnez $- 5 y$ et $5 y$ .

$25 + 0 - y^{2}$

Étape 5.4.1.2.3

Additionnez $25$ et $0$ .

$25 - y^{2}$

Étape 5.4.1.3

Remettez dans l’ordre $25$ et $- y^{2}$ .

$- y^{2} + 25$

Étape 5.4.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 25$

Étape 5.4.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.4.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.4.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.4.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.4.2.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 5.4.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.4.4.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Étape 5.4.4.2.2

Réécrivez $- 1 \cdot 0$ comme $- 0$ .

$d = - 0$

Étape 5.4.4.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$d = 0$

Étape 5.4.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.4.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 25 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 5.4.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e = 25 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Étape 5.4.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = 25 - \frac{0}{- 4}$

Étape 5.4.5.2.1.3

Divisez $0$ par $- 4$ .

$e = 25 - 0$

Étape 5.4.5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e = 25 + 0$

Étape 5.4.5.2.2

Additionnez $25$ et $0$ .

$e = 25$

Étape 5.4.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(y + 0)}^{2} + 25$ .

$\int_{0}^{4} \sqrt{- {(y + 0)}^{2} + 25} d y + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.5

Laissez $u_{1} = y + 0$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 5.5.1

Laissez $u_{1} = y + 0$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 5.5.1.1

Différenciez $y + 0$ .

$\frac{d}{d y} [y + 0]$

Étape 5.5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 0$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [0]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [0]$

Étape 5.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [0]$

Étape 5.5.1.4

Comme $0$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $0$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5.5.2

Remplacez la limite inférieure pour $y$ dans $u_{1} = y + 0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Étape 5.5.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 5.5.4

Remplacez la limite supérieure pour $y$ dans $u_{1} = y + 0$ .

$u_{upper} = 4 + 0$

Étape 5.5.5

Additionnez $4$ et $0$ .

$u_{upper} = 4$

Étape 5.5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

Étape 5.5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{4} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 25} d u_{1} + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.6

Laissez $u_{1} = 5 \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d u_{1} = 5 \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \cos (t)$ est positif.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- {(5 \sin (t))}^{2} + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.7

Simplifiez les termes.

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Étape 5.7.1

Simplifiez $\sqrt{- {(5 \sin (t))}^{2} + 25}$ .

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Étape 5.7.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.7.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- (5^{2} \sin^{2} (t)) + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.7.1.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- (25 \sin^{2} (t)) + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.7.1.1.3

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{- 25 \sin^{2} (t) + 25} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.7.1.2

Remettez dans l’ordre $- 25 \sin^{2} (t)$ et $25$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.7.1.3

Factorisez $25$ à partir de $25$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.7.1.4

Factorisez $25$ à partir de $- 25 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.7.1.5

Factorisez $25$ à partir de $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.7.1.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 \cos^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.7.1.7

Réécrivez $25 \cos^{2} (t)$ comme ${(5 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int_{0}^{0.92729521} 5 \cos (t) (5 \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.7.2

Simplifiez

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Étape 5.7.2.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos (t) \cos (t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.7.2.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.7.2.3

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.7.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{0.92729521} 25 {\cos (t)}^{1 + 1} d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.7.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos^{2} (t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.8

Comme $25$ est constant par rapport à $t$ , placez $25$ en dehors de l’intégrale.

$25 \int_{0}^{0.92729521} \cos^{2} (t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.9

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (t)$ en $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$25 \int_{0}^{0.92729521} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$25 (\frac{1}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.11

Associez $\frac{1}{2}$ et $25$ .

$\frac{25}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.12

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{25}{2} (\int_{0}^{0.92729521} d t + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.13

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.14

Laissez $u_{2} = 2 t$ . Alors $d u_{2} = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 5.14.1

Laissez $u_{2} = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Étape 5.14.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 5.14.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 5.14.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 5.14.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 5.14.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 5.14.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 5.14.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0.92729521$

Étape 5.14.5

Multipliez $2$ par $0.92729521$ .

$u_{upper} = 1.85459043$

Étape 5.14.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1.85459043$

Étape 5.14.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.15

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.16

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1.85459043} \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.17

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + \int_{0}^{4} 5 d y + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.18

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - 2 y d y$

Étape 5.19

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 \int_{0}^{4} y d y$

Étape 5.20

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{4})$

Étape 5.21

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Étape 5.22

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.22.1

Évaluez $t$ sur $0.92729521$ et sur $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{1.85459043}) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Étape 5.22.2

Évaluez $\sin (u_{2})$ sur $1.85459043$ et sur $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + 5 y]_{0}^{4} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Étape 5.22.3

Évaluez $5 y$ sur $4$ et sur $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + (5 \cdot 4) - 5 \cdot 0 - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Étape 5.22.4

Évaluez $\frac{y^{2}}{2}$ sur $4$ et sur $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + (5 \cdot 4) - 5 \cdot 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.22.5

Simplifiez

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Étape 5.22.5.1

Additionnez $0.92729521$ et $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0))) + (5 \cdot 4) - 5 \cdot 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.22.5.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 5 \cdot 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.22.5.3

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 + 0 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.22.5.4

Additionnez $20$ et $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.22.5.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.22.5.6

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 5.22.5.6.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.22.5.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.22.5.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.22.5.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.22.5.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.22.5.6.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.22.5.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{0}{2})$

Étape 5.22.5.8

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 5.22.5.8.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Étape 5.22.5.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.22.5.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 5.22.5.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 5.22.5.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - \frac{0}{1})$

Étape 5.22.5.8.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 - 0)$

Étape 5.22.5.9

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 (8 + 0)$

Étape 5.22.5.10

Additionnez $8$ et $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 2 \cdot 8$

Étape 5.22.5.11

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 20 - 16$

Étape 5.22.5.12

Soustrayez $16$ de $20$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0))) + 4$

Étape 5.23

Simplifiez

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Étape 5.23.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - 0)) + 4$

Étape 5.23.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) + 0)) + 4$

Étape 5.23.3

Additionnez $\sin (1.85459043)$ et $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} \sin (1.85459043)) + 4$

Étape 5.23.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (1.85459043)$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{\sin (1.85459043)}{2}) + 4$

Étape 5.23.5

Additionnez $0.92729521$ et $\frac{\sin (1.85459043)}{2}$ .

$\frac{25}{2} \cdot 1.40729521 + 4$

Étape 5.23.6

Associez $\frac{25}{2}$ et $1.40729521$ .

$\frac{25 \cdot 1.40729521}{2} + 4$

Étape 5.23.7

Multipliez $25$ par $1.40729521$ .

$\frac{35.18238045}{2} + 4$

Étape 5.23.8

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35.18238045}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 5.23.9

Associez $4$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{35.18238045}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Étape 5.23.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{35.18238045 + 4 \cdot 2}{2}$

Étape 5.23.11

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{35.18238045 + 8}{2}$

Étape 5.23.12

Additionnez $35.18238045$ et $8$ .

$\frac{43.18238045}{2}$

Étape 5.24

Divisez $43.18238045$ par $2$ .

$21.59119022$

Étape 6