Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{0.4 x}$ , $y = 5 + x^{2}$ , $x = 2$ , $x = 3$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$e^{0.4 x} = 5 + x^{2}$

Étape 1.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx 12.83601099 + y = 5 + x^{2}$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 12.83601099$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $12.83601099$ .

$y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $12.83601099$ dans $y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 5 + {12.83601099}^{2}$

Étape 1.3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$

Étape 1.3.2.3

Simplifiez $5 + {(12.83601099)}^{2}$ .

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Étape 1.3.2.3.1

Élevez $12.83601099$ à la puissance $2$ .

$y = 5 + 164.76317813$

Étape 1.3.2.3.2

Additionnez $5$ et $164.76317813$ .

$y = 169.76317813$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(12.83601099, 169.76317813)$

Étape 2

Remettez dans l’ordre $5$ et $x^{2}$ .

$y = x^{2} + 5$

Étape 3

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{2}^{3} x^{2} + 5 d x - \int_{2}^{3} e^{0.4 x} d x$

Étape 4

Intégrez pour déterminer l’aire entre $2$ et $3$ .

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Étape 4.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{2}^{3} x^{2} + 5 - (e^{0.4 x}) d x$

Étape 4.2

Multipliez $- 1$ par $e^{0.4 x}$ .

$\int_{2}^{3} x^{2} + 5 - e^{0.4 x} d x$

Étape 4.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{2}^{3} x^{2} d x + \int_{2}^{3} 5 d x + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

Étape 4.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} 5 d x + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

Étape 4.5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

Étape 4.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{2}^{3} e^{0.4 x} d x$

Étape 4.7

Laissez $u = 0.4 x$ . Alors $d u = 0.4 d x$ , donc $\frac{1}{0.4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.7.1

Laissez $u = 0.4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.7.1.1

Différenciez $0.4 x$ .

$\frac{d}{d x} [0.4 x]$

Étape 4.7.1.2

Comme $0.4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0.4 x$ par rapport à $x$ est $0.4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0.4 \cdot 1$

Étape 4.7.1.4

Multipliez $0.4$ par $1$ .

$0.4$

Étape 4.7.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 0.4 x$ .

$u_{lower} = 0.4 \cdot 2$

Étape 4.7.3

Multipliez $0.4$ par $2$ .

$u_{lower} = 0.8$

Étape 4.7.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 0.4 x$ .

$u_{upper} = 0.4 \cdot 3$

Étape 4.7.5

Multipliez $0.4$ par $3$ .

$u_{upper} = 1.2$

Étape 4.7.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0.8$

$u_{upper} = 1.2$

Étape 4.7.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{0.8}^{1.2} e^{u} \frac{1}{0.4} d u$

Étape 4.8

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{0.4}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{0.8}^{1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u$

Étape 4.9

Comme $\frac{1}{0.4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{0.4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - (\frac{1}{0.4} \int_{0.8}^{1.2} e^{u} d u)$

Étape 4.10

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

Étape 4.11

Associez $\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3}$ et $5 x]_{2}^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

Étape 4.12

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.12.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} + 5 x$ sur $3$ et sur $2$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

Étape 4.12.2

Évaluez $e^{u}$ sur $1.2$ et sur $0.8$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Étape 4.12.3

Simplifiez

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Étape 4.12.3.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 27 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Étape 4.12.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $27$ .

$\frac{27}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Étape 4.12.3.3

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 4.12.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Étape 4.12.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.12.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Étape 4.12.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Étape 4.12.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Étape 4.12.3.3.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$9 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Étape 4.12.3.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$9 + 15 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Étape 4.12.3.5

Additionnez $9$ et $15$ .

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Étape 4.12.3.6

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 8 + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Étape 4.12.3.7

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$24 - (\frac{8}{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Étape 4.12.3.8

Multipliez $5$ par $2$ .

$24 - (\frac{8}{3} + 10) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Étape 4.12.3.9

Pour écrire $10$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$24 - (\frac{8}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3}) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Étape 4.12.3.10

Associez $10$ et $\frac{3}{3}$ .

$24 - (\frac{8}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3}) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Étape 4.12.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$24 - \frac{8 + 10 \cdot 3}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Étape 4.12.3.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.12.3.12.1

Multipliez $10$ par $3$ .

$24 - \frac{8 + 30}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Étape 4.12.3.12.2

Additionnez $8$ et $30$ .

$24 - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Étape 4.12.3.13

Pour écrire $24$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Étape 4.12.3.14

Associez $24$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Étape 4.12.3.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{24 \cdot 3 - 38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Étape 4.12.3.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.12.3.16.1

Multipliez $24$ par $3$ .

$\frac{72 - 38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Étape 4.12.3.16.2

Soustrayez $38$ de $72$ .

$\frac{34}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

Étape 4.12.3.17

Pour écrire $- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{34}{3} - \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot \frac{3}{3}$

Étape 4.12.3.18

Associez $- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{34}{3} + \frac{- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot 3}{3}$

Étape 4.12.3.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{34 - \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot 3}{3}$

Étape 4.12.3.20

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{34 - 3 (\frac{1}{0.4}) (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Étape 4.12.3.21

Associez $- 3$ et $\frac{1}{0.4}$ .

$\frac{34 + \frac{- 3}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Étape 4.12.3.22

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{34 - \frac{3}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Étape 4.13

Simplifiez

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Étape 4.13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.13.1.1

Divisez $3$ par $0.4$ .

$\frac{34 - 1 \cdot 7.5 (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Étape 4.13.1.2

Multipliez $- 1$ par $7.5$ .

$\frac{34 - 7.5 (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

Étape 4.13.1.3

Multipliez $- 7.5$ par $e^{1.2} - e^{0.8}$ .

$\frac{34 - 8.20931995}{3}$

Étape 4.13.1.4

Soustrayez $8.20931995$ de $34$ .

$\frac{25.79068004}{3}$

Étape 4.13.2

Divisez $25.79068004$ par $3$ .

$8.59689334$

Étape 5