Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2}$ , $y = x$ , $x = - 1$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x^{2} = x$

Étape 1.2

Résolvez $x^{2} = x$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - x$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x - x = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$x (x - 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0 + y = x$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 1$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 0$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = 0$

Étape 1.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = 1$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$y = 1$

Étape 1.4.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 1$

Étape 1.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} x^{2} d x - \int_{- 1}^{0} x d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- 1$ et $0$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 1}^{0} x^{2} - (x) d x$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $x$ .

$\int_{- 1}^{0} x^{2} - x d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{0} x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Étape 3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} x d x$

Étape 3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0})$

Étape 3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0} - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Étape 3.7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.7.2.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3}$ sur $0$ et sur $- 1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Étape 3.7.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $0$ et sur $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3

Simplifiez

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Étape 3.7.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $0$ .

$0 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$0 - \frac{1}{3} \cdot - 1 - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{1}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.5

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$0 + \frac{1}{3} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.6

Additionnez $0$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{3} - (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.8

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 3.7.2.3.8.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{1}{3} - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.7.2.3.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{3} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.8.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{3} - (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.9

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{3} - (0 - \frac{1}{2})$

Étape 3.7.2.3.10

Soustrayez $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$\frac{1}{3} - - \frac{1}{2}$

Étape 3.7.2.3.11

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{2})$

Étape 3.7.2.3.12

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

Étape 3.7.2.3.13

Pour écrire $\frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3.7.2.3.14

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.7.2.3.15

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.7.2.3.15.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.7.2.3.15.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.7.2.3.15.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

Étape 3.7.2.3.15.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

Étape 3.7.2.3.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 + 3}{6}$

Étape 3.7.2.3.17

Additionnez $2$ et $3$ .

$\frac{5}{6}$

Étape 4

$A r e a = \int_{0}^{1} x d x - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Étape 5

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $1$ .

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Étape 5.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{1} x - (x^{2}) d x$

Étape 5.2

Multipliez $- 1$ par $x^{2}$ .

$\int_{0}^{1} x - x^{2} d x$

Étape 5.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Étape 5.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{2} d x$

Étape 5.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Étape 5.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1})$

Étape 5.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.7.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Étape 5.7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.7.2.1

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Étape 5.7.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 5.7.2.3

Simplifiez

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Étape 5.7.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 5.7.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 5.7.2.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 5.7.2.3.4

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 5.7.2.3.5

Multipliez $0$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 5.7.2.3.6

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 5.7.2.3.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 5.7.2.3.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Étape 5.7.2.3.9

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 5.7.2.3.9.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Étape 5.7.2.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.7.2.3.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 5.7.2.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 5.7.2.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Étape 5.7.2.3.9.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0)$

Étape 5.7.2.3.10

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} + 0)$

Étape 5.7.2.3.11

Additionnez $\frac{1}{3}$ et $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

Étape 5.7.2.3.12

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 5.7.2.3.13

Pour écrire $- \frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 5.7.2.3.14

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.7.2.3.14.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 5.7.2.3.14.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 5.7.2.3.14.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2}$

Étape 5.7.2.3.14.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{6}$

Étape 5.7.2.3.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 - 2}{6}$

Étape 5.7.2.3.16

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{1}{6}$

Étape 6

Additionnez les aires $\frac{5}{6} + \frac{1}{6}$ .

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Étape 6.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 + 1}{6}$

Étape 6.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.1

Additionnez $5$ et $1$ .

$\frac{6}{6}$

Étape 6.2.2

Divisez $6$ par $6$ .

$1$

Étape 7