Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{\frac{4}{3}}$ , $y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x^{\frac{4}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.2

Résolvez $x^{\frac{4}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Éliminez les exposants fractionnels en multipliant les deux exposants par le plus petit dénominateur commun.

${(x^{\frac{4}{3}})}^{3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Étape 1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{4}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{4}{3} \cdot 3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Étape 1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{4}{3} \cdot 3} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Étape 1.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{4} = {(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Étape 1.2.3

Simplifiez ${(2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.2.3.1

Appliquez la règle de produit à $2 x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{4} = 2^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Étape 1.2.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$x^{4} = 8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Étape 1.2.3.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.2.3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{4} = 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Étape 1.2.3.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{4} = 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Étape 1.2.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{4} = 8 x^{1}$

Étape 1.2.3.4

Simplifiez

$x^{4} = 8 x$

Étape 1.2.4

Soustrayez $8 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{4} - 8 x = 0$

Étape 1.2.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4} - 8 x$ .

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Étape 1.2.5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} - 8 x = 0$

Étape 1.2.5.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 8 x$ .

$x \cdot x^{3} + x \cdot - 8 = 0$

Étape 1.2.5.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{3} + x \cdot - 8$ .

$x (x^{3} - 8) = 0$

Étape 1.2.5.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$x (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Étape 1.2.5.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$x ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 1.2.5.4

Factorisez.

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Étape 1.2.5.4.1

Simplifiez

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Étape 1.2.5.4.1.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$x ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Étape 1.2.5.4.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Étape 1.2.5.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Étape 1.2.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.2.7

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.8

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.8.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.8.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.2.9

Définissez $x^{2} + 2 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.9.1

Définissez $x^{2} + 2 x + 4$ égal à $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Étape 1.2.9.2

Résolvez $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.9.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.2.9.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1} + y = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.2.9.2.3

Simplifiez

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Étape 1.2.9.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.9.2.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 1.2.9.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.3.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.3.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.3.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.9.2.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.9.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 1.2.9.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.9.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.9.2.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 1.2.9.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.4.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.4.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.4.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.9.2.4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.9.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 1.2.9.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Étape 1.2.9.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.9.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.9.2.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 1.2.9.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.5.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.5.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.5.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.9.2.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.9.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.9.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 1.2.9.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 1.2.9.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 1.2.10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ vraie.

$x = 0, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 0$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = 2 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans $y = 2 {(0)}^{\frac{1}{3}}$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 \cdot 0^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez $2 \cdot 0^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 1.3.2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$y = 2 \cdot {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.3.2.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 2 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = 2 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.3.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = 2 \cdot 0^{1}$

Étape 1.3.2.2.3

Évaluez l’exposant.

$y = 2 \cdot 0$

Étape 1.3.2.2.4

Multipliez $2$ par $0$ .

$y = 0$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = 2$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$y = 2 {(2)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.2

Remplacez $x$ par $2$ dans $y = 2 {(2)}^{\frac{1}{3}}$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.2.2

Multipliez $2$ par $2^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.2.2.1

Multipliez $2$ par $2^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$y = 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.4.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = 2^{1 + \frac{1}{3}}$

Étape 1.4.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = 2^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Étape 1.4.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = 2^{\frac{3 + 1}{3}}$

Étape 1.4.2.2.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$y = 2^{\frac{4}{3}}$

Étape 1.5

Remplacez $x$ par $- 1 + i \sqrt{3}$ .

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.6

Remplacez $x$ par $- 1 - i \sqrt{3}$ .

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.7

Indiquez toutes les solutions.

$y = 0, x = 0$

$y = 2^{\frac{4}{3}}, x = 2$

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 0$

$y = 2^{\frac{4}{3}}, x = 2$

$y = 2 {(- 1 + i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 2 {(- 1 - i \sqrt{3})}^{\frac{1}{3}}, x = - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 2

La surface entre les courbes données n’est pas délimitée.

Aire non délimitée

Étape 3