Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{x}$ , $x = 16$ , $y = \frac{1}{3} x$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\sqrt{x} = \frac{1}{3} x$

Étape 1.2

Résolvez $\sqrt{x} = \frac{1}{3} x$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x}}^{2} = {(\frac{1}{3} x)}^{2}$

Étape 1.2.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{3} x)}^{2}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{3} x)}^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{3} x)}^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(\frac{1}{3} x)}^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Simplifiez

$x = {(\frac{1}{3} x)}^{2}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Simplifiez ${(\frac{1}{3} x)}^{2}$ .

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Étape 1.2.2.3.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$x = {(\frac{x}{3})}^{2}$

Étape 1.2.2.3.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.2.3.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{3}$ .

$x = \frac{x^{2}}{3^{2}}$

Étape 1.2.2.3.1.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{x^{2}}{9}$

Étape 1.2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Multipliez les deux côtés par $9$ .

$x \cdot 9 = \frac{x^{2}}{9} \cdot 9$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez

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Étape 1.2.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1.1

Déplacez $9$ à gauche de $x$ .

$9 x = \frac{x^{2}}{9} \cdot 9$

Étape 1.2.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$9 x = \frac{x^{2}}{9} \cdot 9$

Étape 1.2.3.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$9 x = x^{2}$

Étape 1.2.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.3.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$9 x - x^{2} = 0$

Étape 1.2.3.3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.3.3.2.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$9 u - u^{2} = 0$

Étape 1.2.3.3.2.2

Factorisez $u$ à partir de $9 u - u^{2}$ .

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Étape 1.2.3.3.2.2.1

Factorisez $u$ à partir de $9 u$ .

$u \cdot 9 - u^{2} = 0$

Étape 1.2.3.3.2.2.2

Factorisez $u$ à partir de $- u^{2}$ .

$u \cdot 9 + u (- u) = 0$

Étape 1.2.3.3.2.2.3

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot 9 + u (- u)$ .

$u (9 - u) = 0$

Étape 1.2.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$x (9 - x) = 0$

Étape 1.2.3.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$9 - x = 0 + y = \frac{1}{3} x$

Étape 1.2.3.3.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.3.3.5

Définissez $9 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.3.5.1

Définissez $9 - x$ égal à $0$ .

$9 - x = 0$

Étape 1.2.3.3.5.2

Résolvez $9 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.3.3.5.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 9$

Étape 1.2.3.3.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 9$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.3.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 9$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Étape 1.2.3.3.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.3.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Étape 1.2.3.3.5.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 9}{- 1}$

Étape 1.2.3.3.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.5.2.2.3.1

Divisez $- 9$ par $- 1$ .

$x = 9$

Étape 1.2.3.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (9 - x) = 0$ vraie.

$x = 0, 9$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 0$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot (0)$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans $y = \frac{1}{3} \cdot (0)$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $0$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot 0$

Étape 1.3.2.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $0$ .

$y = 0$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = 9$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $9$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot (9)$

Étape 1.4.2

Remplacez $x$ par $9$ dans $y = \frac{1}{3} \cdot (9)$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.4.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $9$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot 9$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.4.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot (3 (3))$

Étape 1.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3)$

Étape 1.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = 3$

Étape 1.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, 0)$

$(9, 3)$

$(0, 0)$

$(9, 3)$

Étape 2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{x}{3}$

Étape 3

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{0}^{9} \sqrt{x} d x - \int_{0}^{9} \frac{x}{3} d x$

Étape 4

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $9$ .

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Étape 4.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{9} \sqrt{x} - (\frac{x}{3}) d x$

Étape 4.2

Multipliez $- 1$ par $\frac{x}{3}$ .

$\int_{0}^{9} \sqrt{x} - \frac{x}{3} d x$

Étape 4.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{9} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{9} - \frac{x}{3} d x$

Étape 4.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{9} - \frac{x}{3} d x$

Étape 4.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9} + \int_{0}^{9} - \frac{x}{3} d x$

Étape 4.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9} - \int_{0}^{9} \frac{x}{3} d x$

Étape 4.7

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{9} x d x)$

Étape 4.8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9} - \frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}$

Étape 4.9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.9.1

Évaluez $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ sur $9$ et sur $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}$

Étape 4.9.2

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2}$ sur $9$ et sur $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 4.9.3

Simplifiez

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Étape 4.9.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 4.9.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 4.9.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.9.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 4.9.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 4.9.3.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 4.9.3.5

Associez $\frac{2}{3}$ et $27$ .

$\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 4.9.3.6

Multipliez $2$ par $27$ .

$\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 4.9.3.7

Annulez le facteur commun à $54$ et $3$ .

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Étape 4.9.3.7.1

Factorisez $3$ à partir de $54$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 4.9.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.9.3.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 4.9.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 4.9.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 4.9.3.7.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 4.9.3.8

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 4.9.3.9

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 4.9.3.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.9.3.10.1

Annulez le facteur commun.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 4.9.3.10.2

Réécrivez l’expression.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 4.9.3.11

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 4.9.3.12

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$18 + 0 (\frac{2}{3}) - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 4.9.3.13

Multipliez $0$ par $\frac{2}{3}$ .

$18 + 0 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 4.9.3.14

Additionnez $18$ et $0$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 4.9.3.15

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 4.9.3.16

Associez $\frac{1}{2}$ et $81$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 4.9.3.17

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Étape 4.9.3.18

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

Étape 4.9.3.19

Multipliez $0$ par $\frac{1}{2}$ .

$18 - \frac{1}{3} (\frac{81}{2} + 0)$

Étape 4.9.3.20

Additionnez $\frac{81}{2}$ et $0$ .

$18 - \frac{1}{3} \cdot \frac{81}{2}$

Étape 4.9.3.21

Multipliez $\frac{81}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$18 - \frac{81}{2 \cdot 3}$

Étape 4.9.3.22

Multipliez $2$ par $3$ .

$18 - \frac{81}{6}$

Étape 4.9.3.23

Annulez le facteur commun à $81$ et $6$ .

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Étape 4.9.3.23.1

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$18 - \frac{3 (27)}{6}$

Étape 4.9.3.23.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.9.3.23.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$18 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Étape 4.9.3.23.2.2

Annulez le facteur commun.

$18 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Étape 4.9.3.23.2.3

Réécrivez l’expression.

$18 - \frac{27}{2}$

Étape 4.9.3.24

Pour écrire $18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2}$

Étape 4.9.3.25

Associez $18$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2}$

Étape 4.9.3.26

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{18 \cdot 2 - 27}{2}$

Étape 4.9.3.27

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.9.3.27.1

Multipliez $18$ par $2$ .

$\frac{36 - 27}{2}$

Étape 4.9.3.27.2

Soustrayez $27$ de $36$ .

$\frac{9}{2}$

Étape 5

$A r e a = \int_{9}^{16} \frac{x}{3} d x - \int_{9}^{16} \sqrt{x} d x$

Étape 6

Intégrez pour déterminer l’aire entre $9$ et $16$ .

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Étape 6.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{9}^{16} \frac{x}{3} - (\sqrt{x}) d x$

Étape 6.2

Multipliez $- 1$ par $\sqrt{x}$ .

$\int_{9}^{16} \frac{x}{3} - \sqrt{x} d x$

Étape 6.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{9}^{16} \frac{x}{3} d x + \int_{9}^{16} - \sqrt{x} d x$

Étape 6.4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int_{9}^{16} x d x + \int_{9}^{16} - \sqrt{x} d x$

Étape 6.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{9}^{16} + \int_{9}^{16} - \sqrt{x} d x$

Étape 6.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{9}^{16} - \int_{9}^{16} \sqrt{x} d x$

Étape 6.7

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{9}^{16} - \int_{9}^{16} x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 6.8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{9}^{16} - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{9}^{16})$

Étape 6.9

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.9.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{2} x^{2}]_{9}^{16} - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{9}^{16})$

Étape 6.9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.9.2.1

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2}$ sur $16$ et sur $9$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{2} \cdot 16^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{9}^{16})$

Étape 6.9.2.2

Évaluez $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ sur $16$ et sur $9$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 16^{2} - \frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.9.2.3

Simplifiez

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Étape 6.9.2.3.1

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 256 - \frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.9.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $256$ .

$\frac{1}{3} (\frac{256}{2} - \frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.9.2.3.3

Annulez le facteur commun à $256$ et $2$ .

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Étape 6.9.2.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $256$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 128}{2} - \frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.9.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.9.2.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 128}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.9.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 128}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.9.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (\frac{128}{1} - \frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.9.2.3.3.2.4

Divisez $128$ par $1$ .

$\frac{1}{3} (128 - \frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.9.2.3.4

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{3} (128 - \frac{1}{2} \cdot 81) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.9.2.3.5

Multipliez $81$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} (128 - 81 (\frac{1}{2})) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.9.2.3.6

Associez $- 81$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (128 + \frac{- 81}{2}) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.9.2.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} (128 - \frac{81}{2}) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.9.2.3.8

Pour écrire $128$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (128 \cdot \frac{2}{2} - \frac{81}{2}) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.9.2.3.9

Associez $128$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{128 \cdot 2}{2} - \frac{81}{2}) - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.9.2.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{128 \cdot 2 - 81}{2} - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.9.2.3.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.9.2.3.11.1

Multipliez $128$ par $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{256 - 81}{2} - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.9.2.3.11.2

Soustrayez $81$ de $256$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{175}{2} - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.9.2.3.12

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{175}{2}$ .

$\frac{175}{3 \cdot 2} - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.9.2.3.13

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{175}{6} - (\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.9.2.3.14

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{175}{6} - (\frac{2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.9.2.3.15

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{175}{6} - (\frac{2 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.9.2.3.16

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.9.2.3.16.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{175}{6} - (\frac{2 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.9.2.3.16.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{175}{6} - (\frac{2 \cdot 4^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.9.2.3.17

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{175}{6} - (\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.9.2.3.18

Multipliez $2$ par $64$ .

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.9.2.3.19

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 6.9.2.3.20

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Étape 6.9.2.3.21

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.9.2.3.21.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Étape 6.9.2.3.21.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 3^{3}}{3})$

Étape 6.9.2.3.22

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 27}{3})$

Étape 6.9.2.3.23

Multipliez $2$ par $27$ .

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - \frac{54}{3})$

Étape 6.9.2.3.24

Annulez le facteur commun à $54$ et $3$ .

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Étape 6.9.2.3.24.1

Factorisez $3$ à partir de $54$ .

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - \frac{3 \cdot 18}{3})$

Étape 6.9.2.3.24.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.9.2.3.24.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - \frac{3 \cdot 18}{3 (1)})$

Étape 6.9.2.3.24.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - \frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1})$

Étape 6.9.2.3.24.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - \frac{18}{1})$

Étape 6.9.2.3.24.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - 1 \cdot 18)$

Étape 6.9.2.3.25

Multipliez $- 1$ par $18$ .

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - 18)$

Étape 6.9.2.3.26

Pour écrire $- 18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} - 18 \cdot \frac{3}{3})$

Étape 6.9.2.3.27

Associez $- 18$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{6} - (\frac{128}{3} + \frac{- 18 \cdot 3}{3})$

Étape 6.9.2.3.28

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{175}{6} - \frac{128 - 18 \cdot 3}{3}$

Étape 6.9.2.3.29

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.9.2.3.29.1

Multipliez $- 18$ par $3$ .

$\frac{175}{6} - \frac{128 - 54}{3}$

Étape 6.9.2.3.29.2

Soustrayez $54$ de $128$ .

$\frac{175}{6} - \frac{74}{3}$

Étape 6.9.2.3.30

Pour écrire $- \frac{74}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175}{6} - \frac{74}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 6.9.2.3.31

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.9.2.3.31.1

Multipliez $\frac{74}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175}{6} - \frac{74 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Étape 6.9.2.3.31.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{175}{6} - \frac{74 \cdot 2}{6}$

Étape 6.9.2.3.32

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{175 - 74 \cdot 2}{6}$

Étape 6.9.2.3.33

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.9.2.3.33.1

Multipliez $- 74$ par $2$ .

$\frac{175 - 148}{6}$

Étape 6.9.2.3.33.2

Soustrayez $148$ de $175$ .

$\frac{27}{6}$

Étape 6.9.2.3.34

Annulez le facteur commun à $27$ et $6$ .

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Étape 6.9.2.3.34.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$\frac{3 (9)}{6}$

Étape 6.9.2.3.34.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.9.2.3.34.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2}$

Étape 6.9.2.3.34.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2}$

Étape 6.9.2.3.34.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{2}$

Étape 7

Additionnez les aires $\frac{9}{2} + \frac{9}{2}$ .

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Étape 7.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 + 9}{2}$

Étape 7.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.1

Additionnez $9$ et $9$ .

$\frac{18}{2}$

Étape 7.2.2

Divisez $18$ par $2$ .

$9$

Étape 8