Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{x}$ , $y = x^{2}$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\sqrt{x} = x^{2}$

Étape 1.2

Résolvez $\sqrt{x} = x^{2}$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x}}^{2} = {(x^{2})}^{2}$

Étape 1.2.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x^{2})}^{2}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{2})}^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{2})}^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(x^{2})}^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Simplifiez

$x = {(x^{2})}^{2}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.2.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = x^{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = x^{4}$

Étape 1.2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Soustrayez $x^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$x - x^{4} = 0$

Étape 1.2.3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x - x^{4}$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x - x^{4} = 0$

Étape 1.2.3.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - x^{4} = 0$

Étape 1.2.3.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- x^{4}$ .

$x \cdot 1 + x (- x^{3}) = 0$

Étape 1.2.3.2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- x^{3})$ .

$x (1 - x^{3}) = 0$

Étape 1.2.3.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$x (1^{3} - x^{3}) = 0$

Étape 1.2.3.2.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$x ((1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})) = 0$

Étape 1.2.3.2.4

Factorisez.

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Étape 1.2.3.2.4.1

Simplifiez

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Étape 1.2.3.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x ((1 - x) (1 + 1 x + x^{2})) = 0$

Étape 1.2.3.2.4.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x ((1 - x) (1 + x + x^{2})) = 0$

Étape 1.2.3.2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$

Étape 1.2.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

$1 + x + x^{2} = 0 + y = x^{2}$

Étape 1.2.3.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.3.5

Définissez $1 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.5.1

Définissez $1 - x$ égal à $0$ .

$1 - x = 0$

Étape 1.2.3.5.2

Résolvez $1 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.3.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 1.2.3.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.3.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.3.5.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.3.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.5.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 1.2.3.6

Définissez $1 + x + x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.6.1

Définissez $1 + x + x^{2}$ égal à $0$ .

$1 + x + x^{2} = 0$

Étape 1.2.3.6.2

Résolvez $1 + x + x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.3.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = x^{2}$

Étape 1.2.3.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1} + y = x^{2}$

Étape 1.2.3.6.2.3

Simplifiez

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Étape 1.2.3.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.3.6.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.3.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.6.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.3.6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.3.6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.3.6.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.3.6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.6.2.4.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.6.2.4.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.6.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.6.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.3.6.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.3.6.2.4.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.3.6.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.2.3.6.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.2.3.6.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.3.6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.3.6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.3.6.2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.3.6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.6.2.5.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.6.2.5.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.6.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.6.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.6.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.3.6.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.3.6.2.5.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.3.6.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.2.3.6.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.2.3.6.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.3.6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$ vraie.

$x = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 0$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = {(0)}^{2}$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans $y = {(0)}^{2}$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{2}$

Étape 1.3.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = 1$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$y = {(1)}^{2}$

Étape 1.4.2

Remplacez $x$ par $1$ dans $y = {(1)}^{2}$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 1^{2}$

Étape 1.4.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = 1$

Étape 1.5

Évaluez $y$ quand $x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.5.1

Remplacez $x$ par $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = {(- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 1.5.2

Simplifiez ${(- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{2}$ .

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Étape 1.5.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = {(- 1)}^{2} {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 1.5.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = {(- 1)}^{2} \frac{{(1 - i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.5.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.5.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = 1 \frac{{(1 - i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.5.2.2.2

Multipliez $\frac{{(1 - i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$y = \frac{{(1 - i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.5.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{{(1 - i \sqrt{3})}^{2}}{4}$

Étape 1.5.2.2.4

Réécrivez ${(1 - i \sqrt{3})}^{2}$ comme $(1 - i \sqrt{3}) (1 - i \sqrt{3})$ .

$y = \frac{(1 - i \sqrt{3}) (1 - i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.5.2.3

Développez $(1 - i \sqrt{3}) (1 - i \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1 (1 - i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} (1 - i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.5.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1 \cdot 1 + 1 (- i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} (1 - i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.5.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1 \cdot 1 + 1 (- i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} \cdot 1 - i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.5.2.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.4.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$y = \frac{1 + 1 (- i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} \cdot 1 - i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.5.2.4.1.2

Multipliez $- i \sqrt{3}$ par $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} \cdot 1 - i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.5.2.4.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.5.2.4.1.4

Multipliez $- i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$ .

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Étape 1.5.2.4.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 1 i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.5.2.4.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + \sqrt{3} i (i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.5.2.4.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} i i}{4}$

Étape 1.5.2.4.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} i i}{4}$

Étape 1.5.2.4.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1} i i}{4}$

Étape 1.5.2.4.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2} i i}{4}$

Étape 1.5.2.4.1.4.7

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2} (i^{1} i)}{4}$

Étape 1.5.2.4.1.4.8

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2} (i^{1} i^{1})}{4}$

Étape 1.5.2.4.1.4.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2} i^{1 + 1}}{4}$

Étape 1.5.2.4.1.4.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2} i^{2}}{4}$

Étape 1.5.2.4.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.5.2.4.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}{4}$

Étape 1.5.2.4.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}{4}$

Étape 1.5.2.4.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}} i^{2}}{4}$

Étape 1.5.2.4.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.2.4.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}} i^{2}}{4}$

Étape 1.5.2.4.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 3^{1} i^{2}}{4}$

Étape 1.5.2.4.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 3 i^{2}}{4}$

Étape 1.5.2.4.1.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 3 \cdot - 1}{4}$

Étape 1.5.2.4.1.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 3}{4}$

Étape 1.5.2.4.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$y = \frac{- i \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 2}{4}$

Étape 1.5.2.4.3

Soustrayez $i \sqrt{3}$ de $- i \sqrt{3}$ .

$y = \frac{- 2 i \sqrt{3} - 2}{4}$

Étape 1.5.2.5

Remettez dans l’ordre $- 2 i \sqrt{3}$ et $- 2$ .

$y = \frac{- 2 - 2 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.5.2.6

Annulez le facteur commun à $- 2 - 2 i \sqrt{3}$ et $4$ .

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Étape 1.5.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = \frac{2 (- 1) - 2 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.5.2.6.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 i \sqrt{3}$ .

$y = \frac{2 (- 1) + 2 (- i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.5.2.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 1) + 2 (- i \sqrt{3})$ .

$y = \frac{2 (- 1 - i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.5.2.6.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{2 (- 1 - i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.2.6.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 (- 1 - i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.2.6.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.5.2.7

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.5.2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{3}$ .

$y = \frac{- 1 (1) - (i \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.5.2.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$y = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.5.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.6

Évaluez $y$ quand $x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.6.1

Remplacez $x$ par $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = {(- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 1.6.2

Simplifiez ${(- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{2}$ .

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Étape 1.6.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = {(- 1)}^{2} {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 1.6.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = {(- 1)}^{2} \frac{{(1 + i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.6.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.6.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = 1 \frac{{(1 + i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.6.2.2.2

Multipliez $\frac{{(1 + i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$y = \frac{{(1 + i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.6.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{{(1 + i \sqrt{3})}^{2}}{4}$

Étape 1.6.2.2.4

Réécrivez ${(1 + i \sqrt{3})}^{2}$ comme $(1 + i \sqrt{3}) (1 + i \sqrt{3})$ .

$y = \frac{(1 + i \sqrt{3}) (1 + i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.6.2.3

Développez $(1 + i \sqrt{3}) (1 + i \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.6.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1 (1 + i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (1 + i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.6.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1 \cdot 1 + 1 (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (1 + i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.6.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1 \cdot 1 + 1 (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \cdot 1 + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.6.2.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.6.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.2.4.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$y = \frac{1 + 1 (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \cdot 1 + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.6.2.4.1.2

Multipliez $i \sqrt{3}$ par $1$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} \cdot 1 + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.6.2.4.1.3

Multipliez $i$ par $1$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.6.2.4.1.4

Multipliez $i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$ .

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Étape 1.6.2.4.1.4.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{1} i \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.6.2.4.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{1} i^{1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.6.2.4.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.6.2.4.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.6.2.4.1.4.5

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.6.2.4.1.4.6

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{4}$

Étape 1.6.2.4.1.4.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

Étape 1.6.2.4.1.4.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Étape 1.6.2.4.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Étape 1.6.2.4.1.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.6.2.4.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 1.6.2.4.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 1.6.2.4.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 1.6.2.4.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.6.2.4.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 1.6.2.4.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{1}}{4}$

Étape 1.6.2.4.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{4}$

Étape 1.6.2.4.1.7

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 3}{4}$

Étape 1.6.2.4.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$y = \frac{i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 2}{4}$

Étape 1.6.2.4.3

Additionnez $i \sqrt{3}$ et $i \sqrt{3}$ .

$y = \frac{2 i \sqrt{3} - 2}{4}$

Étape 1.6.2.5

Remettez dans l’ordre $2 i \sqrt{3}$ et $- 2$ .

$y = \frac{- 2 + 2 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.6.2.6

Annulez le facteur commun à $- 2 + 2 i \sqrt{3}$ et $4$ .

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Étape 1.6.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = \frac{2 \cdot - 1 + 2 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 1.6.2.6.2

Factorisez $2$ à partir de $2 i \sqrt{3}$ .

$y = \frac{2 \cdot - 1 + 2 (i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.6.2.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 1 + 2 (i \sqrt{3})$ .

$y = \frac{2 \cdot (- 1 + i \sqrt{3})}{4}$

Étape 1.6.2.6.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.2.6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{2 \cdot (- 1 + i \sqrt{3})}{2 (2)}$

Étape 1.6.2.6.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 \cdot (- 1 + i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.2.6.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.6.2.7

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.6.2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{3}$ .

$y = \frac{- 1 (1) - (- i \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.6.2.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$y = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.6.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.7

Indiquez toutes les solutions.

$y = 0, x = 0$

$y = 1, x = 1$

$y = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$y = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = 0$

$y = 1, x = 1$

$y = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$y = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2

La surface entre les courbes données n’est pas délimitée.

Aire non délimitée

Étape 3