Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{\frac{9}{8}}$ , $y = 7 x^{\frac{1}{8}}$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x^{\frac{9}{8}} = 7 x^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.2

Résolvez $x^{\frac{9}{8}} = 7 x^{\frac{1}{8}}$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Éliminez les exposants fractionnels en multipliant les deux exposants par le plus petit dénominateur commun.

${(x^{\frac{9}{8}})}^{8} = {(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Étape 1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{9}{8}})}^{8}$ .

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{9}{8} \cdot 8} = {(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Étape 1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{9}{8} \cdot 8} = {(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Étape 1.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{9} = {(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Étape 1.2.3

Simplifiez ${(7 x^{\frac{1}{8}})}^{8}$ .

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Étape 1.2.3.1

Appliquez la règle de produit à $7 x^{\frac{1}{8}}$ .

$x^{9} = 7^{8} {(x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Étape 1.2.3.2

Élevez $7$ à la puissance $8$ .

$x^{9} = 5764801 {(x^{\frac{1}{8}})}^{8}$

Étape 1.2.3.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{8}})}^{8}$ .

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Étape 1.2.3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{9} = 5764801 x^{\frac{1}{8} \cdot 8}$

Étape 1.2.3.3.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 1.2.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{9} = 5764801 x^{\frac{1}{8} \cdot 8}$

Étape 1.2.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{9} = 5764801 x^{1}$

Étape 1.2.3.4

Simplifiez

$x^{9} = 5764801 x$

Étape 1.2.4

Soustrayez $5764801 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{9} - 5764801 x = 0$

Étape 1.2.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{9} - 5764801 x$ .

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Étape 1.2.5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{9}$ .

$x \cdot x^{8} - 5764801 x = 0$

Étape 1.2.5.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 5764801 x$ .

$x \cdot x^{8} + x \cdot - 5764801 = 0$

Étape 1.2.5.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{8} + x \cdot - 5764801$ .

$x (x^{8} - 5764801) = 0$

Étape 1.2.5.2

Réécrivez $x^{8}$ comme ${(x^{4})}^{2}$ .

$x ({(x^{4})}^{2} - 5764801) = 0$

Étape 1.2.5.3

Réécrivez $5764801$ comme $2401^{2}$ .

$x ({(x^{4})}^{2} - 2401^{2}) = 0$

Étape 1.2.5.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{4}$ et $b = 2401$ .

$x ((x^{4} + 2401) (x^{4} - 2401)) = 0$

Étape 1.2.5.5

Factorisez.

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Étape 1.2.5.5.1

Simplifiez

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Étape 1.2.5.5.1.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ((x^{4} + 2401) ({(x^{2})}^{2} - 2401)) = 0$

Étape 1.2.5.5.1.2

Réécrivez $2401$ comme $49^{2}$ .

$x ((x^{4} + 2401) ({(x^{2})}^{2} - 49^{2})) = 0$

Étape 1.2.5.5.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 49$ .

$x ((x^{4} + 2401) ((x^{2} + 49) (x^{2} - 49))) = 0$

Étape 1.2.5.5.1.4

Factorisez.

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Étape 1.2.5.5.1.4.1

Simplifiez

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Étape 1.2.5.5.1.4.1.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$x ((x^{4} + 2401) ((x^{2} + 49) (x^{2} - 7^{2}))) = 0$

Étape 1.2.5.5.1.4.1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.5.5.1.4.1.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 7$ .

$x ((x^{4} + 2401) ((x^{2} + 49) ((x + 7) (x - 7)))) = 0$

Étape 1.2.5.5.1.4.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x ((x^{4} + 2401) ((x^{2} + 49) (x + 7) (x - 7))) = 0$

Étape 1.2.5.5.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x ((x^{4} + 2401) (x^{2} + 49) (x + 7) (x - 7)) = 0$

Étape 1.2.5.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x^{4} + 2401) (x^{2} + 49) (x + 7) (x - 7) = 0$

Étape 1.2.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{4} + 2401 = 0$

$x^{2} + 49 = 0$

$x + 7 = 0$

$x - 7 = 0 + y = 7 x^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.2.7

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.8

Définissez $x^{4} + 2401$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.8.1

Définissez $x^{4} + 2401$ égal à $0$ .

$x^{4} + 2401 = 0$

Étape 1.2.8.2

Résolvez $x^{4} + 2401 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.8.2.1

Soustrayez $2401$ des deux côtés de l’équation.

$x^{4} = - 2401$

Étape 1.2.8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{- 2401}$

Étape 1.2.8.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{- 2401}$ .

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Étape 1.2.8.2.3.1

Réécrivez $- 2401$ comme $7^{4} \cdot - 1$ .

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Étape 1.2.8.2.3.1.1

Factorisez $2401$ à partir de $- 2401$ .

$x = \pm \sqrt[4]{2401 (- 1)}$

Étape 1.2.8.2.3.1.2

Réécrivez $2401$ comme $7^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{7^{4} \cdot - 1}$

Étape 1.2.8.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm 7 \sqrt[4]{- 1}$

Étape 1.2.8.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.8.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 7 \sqrt[4]{- 1}$

Étape 1.2.8.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 7 \sqrt[4]{- 1}$

Étape 1.2.8.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 7 \sqrt[4]{- 1}, - 7 \sqrt[4]{- 1}$

Étape 1.2.9

Définissez $x^{2} + 49$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.9.1

Définissez $x^{2} + 49$ égal à $0$ .

$x^{2} + 49 = 0$

Étape 1.2.9.2

Résolvez $x^{2} + 49 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.9.2.1

Soustrayez $49$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 49$

Étape 1.2.9.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 49}$

Étape 1.2.9.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 49}$ .

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Étape 1.2.9.2.3.1

Réécrivez $- 49$ comme $- 1 (49)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (49)}$

Étape 1.2.9.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (49)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$

Étape 1.2.9.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{49}$

Étape 1.2.9.2.3.4

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{7^{2}}$

Étape 1.2.9.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 7$

Étape 1.2.9.2.3.6

Déplacez $7$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 7 i$

Étape 1.2.9.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.9.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 7 i$

Étape 1.2.9.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 7 i$

Étape 1.2.9.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 7 i, - 7 i$

Étape 1.2.10

Définissez $x + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.10.1

Définissez $x + 7$ égal à $0$ .

$x + 7 = 0$

Étape 1.2.10.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 1.2.11

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.11.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 1.2.11.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 1.2.12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x^{4} + 2401) (x^{2} + 49) (x + 7) (x - 7) = 0$ vraie.

$x = 0, 7 \sqrt[4]{- 1}, - 7 \sqrt[4]{- 1}, 7 i, - 7 i, - 7, 7$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 0$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = 7 {(0)}^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans $y = 7 {(0)}^{\frac{1}{8}}$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 7 \cdot 0^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez $7 \cdot 0^{\frac{1}{8}}$ .

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Étape 1.3.2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{8}$ .

$y = 7 \cdot {(0^{8})}^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.3.2.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 7 \cdot 0^{8 (\frac{1}{8})}$

Étape 1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 1.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = 7 \cdot 0^{8 (\frac{1}{8})}$

Étape 1.3.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = 7 \cdot 0^{1}$

Étape 1.3.2.2.3

Évaluez l’exposant.

$y = 7 \cdot 0$

Étape 1.3.2.2.4

Multipliez $7$ par $0$ .

$y = 0$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = 7 \sqrt[4]{- 1}$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $7 \sqrt[4]{- 1}$ .

$y = 7 {(7 \sqrt[4]{- 1})}^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.4.2

Simplifiez $7 {(7 \sqrt[4]{- 1})}^{\frac{1}{8}}$ .

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Étape 1.4.2.1

Appliquez la règle de produit à $7 \sqrt[4]{- 1}$ .

$y = 7 (7^{\frac{1}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}})$

Étape 1.4.2.2

Multipliez $7$ par $7^{\frac{1}{8}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.2.2.1

Déplacez $7^{\frac{1}{8}}$ .

$y = 7^{\frac{1}{8}} \cdot 7 {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.4.2.2.2

Multipliez $7^{\frac{1}{8}}$ par $7$ .

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Étape 1.4.2.2.2.1

Élevez $7$ à la puissance $1$ .

$y = 7^{\frac{1}{8}} \cdot 7^{1} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.4.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = 7^{\frac{1}{8} + 1} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.4.2.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = 7^{\frac{1}{8} + \frac{8}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.4.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = 7^{\frac{1 + 8}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.4.2.2.5

Additionnez $1$ et $8$ .

$y = 7^{\frac{9}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.5

Évaluez $y$ quand $x = - 7 \sqrt[4]{- 1}$ .

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Étape 1.5.1

Remplacez $x$ par $- 7 \sqrt[4]{- 1}$ .

$y = 7 {(- 7 \sqrt[4]{- 1})}^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.5.2

Appliquez la règle de produit à $- 7 \sqrt[4]{- 1}$ .

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.6

Évaluez $y$ quand $x = 7 i$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Remplacez $x$ par $7 i$ .

$y = 7 {(7 i)}^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.6.2

Simplifiez $7 {(7 i)}^{\frac{1}{8}}$ .

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Étape 1.6.2.1

Appliquez la règle de produit à $7 i$ .

$y = 7 (7^{\frac{1}{8}} i^{\frac{1}{8}})$

Étape 1.6.2.2

Multipliez $7$ par $7^{\frac{1}{8}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.2.2.1

Déplacez $7^{\frac{1}{8}}$ .

$y = 7^{\frac{1}{8}} \cdot 7 i^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.6.2.2.2

Multipliez $7^{\frac{1}{8}}$ par $7$ .

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Étape 1.6.2.2.2.1

Élevez $7$ à la puissance $1$ .

$y = 7^{\frac{1}{8}} \cdot 7^{1} i^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.6.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = 7^{\frac{1}{8} + 1} i^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.6.2.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = 7^{\frac{1}{8} + \frac{8}{8}} i^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.6.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = 7^{\frac{1 + 8}{8}} i^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.6.2.2.5

Additionnez $1$ et $8$ .

$y = 7^{\frac{9}{8}} i^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.7

Évaluez $y$ quand $x = - 7 i$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez $x$ par $- 7 i$ .

$y = 7 {(- 7 i)}^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.7.2

Appliquez la règle de produit à $- 7 i$ .

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} i^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.8

Remplacez $x$ par $- 7$ .

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.9

Évaluez $y$ quand $x = 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1

Remplacez $x$ par $7$ .

$y = 7 {(7)}^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.9.2

Remplacez $x$ par $7$ dans $y = 7 {(7)}^{\frac{1}{8}}$ et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 7 \cdot 7^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.9.2.2

Multipliez $7$ par $7^{\frac{1}{8}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.2.2.1

Multipliez $7$ par $7^{\frac{1}{8}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.2.2.1.1

Élevez $7$ à la puissance $1$ .

$y = 7^{1} \cdot 7^{\frac{1}{8}}$

Étape 1.9.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = 7^{1 + \frac{1}{8}}$

Étape 1.9.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = 7^{\frac{8}{8} + \frac{1}{8}}$

Étape 1.9.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = 7^{\frac{8 + 1}{8}}$

Étape 1.9.2.2.4

Additionnez $8$ et $1$ .

$y = 7^{\frac{9}{8}}$

Étape 1.10

Indiquez toutes les solutions.

$y = 0, x = 0$

$y = 7^{\frac{9}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}, x = 7 \sqrt[4]{- 1}$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}, x = - 7 \sqrt[4]{- 1}$

$y = 7^{\frac{9}{8}} i^{\frac{1}{8}}, x = 7 i$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} i^{\frac{1}{8}}, x = - 7 i$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}}, x = - 7$

$y = 7^{\frac{9}{8}}, x = 7$

$y = 0, x = 0$

$y = 7^{\frac{9}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}, x = 7 \sqrt[4]{- 1}$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} {\sqrt[4]{- 1}}^{\frac{1}{8}}, x = - 7 \sqrt[4]{- 1}$

$y = 7^{\frac{9}{8}} i^{\frac{1}{8}}, x = 7 i$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}} i^{\frac{1}{8}}, x = - 7 i$

$y = 7 {(- 7)}^{\frac{1}{8}}, x = - 7$

$y = 7^{\frac{9}{8}}, x = 7$

Étape 2

La surface entre les courbes données n’est pas délimitée.

Aire non délimitée

Étape 3