Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{x}$ , $x = 1$ , $x = 2$ , $y = 0$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ où $f (x) = \frac{1}{x}$

Étape 2

Simplifiez l’intégrande.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{x}$ .

$V = \frac{1^{2}}{x^{2}}$

Étape 2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$V = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$V = π \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = π \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$V = π \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$V = π - x^{- 1}]_{1}^{2}$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Évaluez $- x^{- 1}$ sur $2$ et sur $1$ .

$V = π ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 5.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = π (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Étape 5.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$V = π (- \frac{1}{2} + 1)$

Étape 5.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$V = π (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Étape 5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (\frac{- 1 + 2}{2})$

Étape 5.2.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$V = π (\frac{1}{2})$

Étape 5.2.6

Associez $π$ et $\frac{1}{2}$ .

$V = \frac{π}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = \frac{π}{2}$

Forme décimale :

$V = 1.57079632 \dots$

Étape 7