Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x^{2}$ , $y = 0$ , $x = 2$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ où $f (x) = 2 x^{2}$

Étape 2

Simplifiez l’intégrande.

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $2 x^{2}$ .

$V = 2^{2} {(x^{2})}^{2}$

Étape 2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$V = 4 {(x^{2})}^{2}$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 4 x^{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$V = 4 x^{4}$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (4 \int_{0}^{2} x^{4} d x)$

Étape 4

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$V = 4 π \int_{0}^{2} x^{4} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = 4 π \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$V = 4 π \frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}$

Étape 6.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Évaluez $\frac{x^{5}}{5}$ sur $2$ et sur $0$ .

$V = 4 π ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 6.2.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 6.2.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{0}{5})$

Étape 6.2.2.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

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Étape 6.2.2.3.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Étape 6.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Étape 6.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Étape 6.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{0}{1})$

Étape 6.2.2.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - 0)$

Étape 6.2.2.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} + 0)$

Étape 6.2.2.5

Additionnez $\frac{32}{5}$ et $0$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5})$

Étape 6.2.2.6

Associez $\frac{32}{5}$ et $4$ .

$V = \frac{32 \cdot 4}{5} \cdot π$

Étape 6.2.2.7

Multipliez $32$ par $4$ .

$V = \frac{128}{5} \cdot π$

Étape 6.2.2.8

Associez $\frac{128}{5}$ et $π$ .

$V = \frac{128 π}{5}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = \frac{128 π}{5}$

Forme décimale :

$V = 80.42477193 \dots$

Étape 8