Calcul infinitésimal Exemples

$y = 0$ , $x = 2$ , $y = \sqrt{x}$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ où $f (x) = \sqrt{x}$

Étape 2

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = x^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$V = x^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.1

Annulez le facteur commun.

$V = x^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.4.2

Réécrivez l’expression.

$V = x$

Étape 2.5

Simplifiez

$V = x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$V = π \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}$

Étape 4.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $0$ .

$V = π ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$V = π (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.2.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$V = π (2 - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 4.2.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$V = π (2 - \frac{0}{2})$

Étape 4.2.2.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 4.2.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$V = π (2 - \frac{2 (0)}{2})$

Étape 4.2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$V = π (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 4.2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 4.2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (2 - \frac{0}{1})$

Étape 4.2.2.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$V = π (2 - 0)$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$V = π (2 + 0)$

Étape 4.2.2.6

Additionnez $2$ et $0$ .

$V = π \cdot 2$

Étape 4.2.2.7

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$V = 2 π$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = 2 π$

Forme décimale :

$V = 6.28318530 \dots$

Étape 6