Calcul infinitésimal Exemples

$y = x + 2$ , $y = x^{2}$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1}^{2} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ où $f (x) = x + 2$ et $g (x) = x^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$V = (x + 2) (x + 2) - {(x^{2})}^{2}$

Étape 2.2

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$V = x (x + 2) + 2 (x + 2) - {(x^{2})}^{2}$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$V = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) - {(x^{2})}^{2}$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$V = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - {(x^{2})}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$V = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - {(x^{2})}^{2}$

Étape 2.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$V = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 - {(x^{2})}^{2}$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$V = x^{2} + 2 x + 2 x + 4 - {(x^{2})}^{2}$

Étape 2.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$V = x^{2} + 4 x + 4 - {(x^{2})}^{2}$

Étape 2.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = x^{2} + 4 x + 4 - x^{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$V = x^{2} + 4 x + 4 - x^{4}$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$V = π (\int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 4 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} 4 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

Étape 5

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} 4 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

Étape 6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2} + 4 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 4 d x + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 4 d x + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 4 x]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

Étape 10

Associez $\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}$ et $4 x]_{- 1}^{2}$ .

$V = π (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \frac{x^{3}}{3} + 4 x]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - x^{4} d x)$

Étape 11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \frac{x^{3}}{3} + 4 x]_{- 1}^{2} - \int_{- 1}^{2} x^{4} d x)$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \frac{x^{3}}{3} + 4 x]_{- 1}^{2} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{2}))$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$V = π (4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \frac{x^{3}}{3} + 4 x]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{2}))$

Étape 13.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 13.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $- 1$ .

$V = π (4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{x^{3}}{3} + 4 x]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{2}))$

Étape 13.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3} + 4 x$ sur $2$ et sur $- 1$ .

$V = π (4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{2}))$

Étape 13.2.3

Évaluez $\frac{x^{5}}{5}$ sur $2$ et sur $- 1$ .

$V = π (4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4

Simplifiez

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Étape 13.2.4.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$V = π (4 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 13.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$V = π (4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.2.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$V = π (4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (4 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$V = π (4 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$V = π (4 (2 - \frac{1}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.4

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$V = π (4 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.5

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$V = π (4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (4 (\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.4.7.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$V = π (4 (\frac{4 - 1}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.7.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$V = π (4 (\frac{3}{2}) + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.8

Associez $4$ et $\frac{3}{2}$ .

$V = π (\frac{4 \cdot 3}{2} + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.9

Multipliez $4$ par $3$ .

$V = π (\frac{12}{2} + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.10

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

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Étape 13.2.4.10.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 6}{2} + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.2.4.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (\frac{6}{1} + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.10.2.4

Divisez $6$ par $1$ .

$V = π (6 + \frac{2^{3}}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.11

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$V = π (6 + \frac{8}{3} + 4 \cdot 2 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.12

Multipliez $4$ par $2$ .

$V = π (6 + \frac{8}{3} + 8 - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.13

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$V = π (6 + \frac{8}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.14

Associez $8$ et $\frac{3}{3}$ .

$V = π (6 + \frac{8}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (6 + \frac{8 + 8 \cdot 3}{3} - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.4.16.1

Multipliez $8$ par $3$ .

$V = π (6 + \frac{8 + 24}{3} - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.16.2

Additionnez $8$ et $24$ .

$V = π (6 + \frac{32}{3} - (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.17

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$V = π (6 + \frac{32}{3} - (\frac{- 1}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$V = π (6 + \frac{32}{3} - (- \frac{1}{3} + 4 \cdot - 1) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.19

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$V = π (6 + \frac{32}{3} - (- \frac{1}{3} - 4) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.20

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$V = π (6 + \frac{32}{3} - (- \frac{1}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.21

Associez $- 4$ et $\frac{3}{3}$ .

$V = π (6 + \frac{32}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (6 + \frac{32}{3} - \frac{- 1 - 4 \cdot 3}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.23

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.4.23.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$V = π (6 + \frac{32}{3} - \frac{- 1 - 12}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.23.2

Soustrayez $12$ de $- 1$ .

$V = π (6 + \frac{32}{3} - \frac{- 13}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.24

Placez le signe moins devant la fraction.

$V = π (6 + \frac{32}{3} + \frac{13}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.25

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$V = π (6 + \frac{32}{3} + 1 (\frac{13}{3}) - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.26

Multipliez $\frac{13}{3}$ par $1$ .

$V = π (6 + \frac{32}{3} + \frac{13}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.27

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (6 + \frac{32 + 13}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.28

Additionnez $32$ et $13$ .

$V = π (6 + \frac{45}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.29

Annulez le facteur commun à $45$ et $3$ .

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Étape 13.2.4.29.1

Factorisez $3$ à partir de $45$ .

$V = π (6 + \frac{3 \cdot 15}{3} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.29.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.2.4.29.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$V = π (6 + \frac{3 \cdot 15}{3 (1)} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.29.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (6 + \frac{3 \cdot 15}{3 \cdot 1} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.29.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (6 + \frac{15}{1} - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.29.2.4

Divisez $15$ par $1$ .

$V = π (6 + 15 - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.30

Additionnez $6$ et $15$ .

$V = π (21 - (\frac{2^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.31

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$V = π (21 - (\frac{32}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Étape 13.2.4.32

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$V = π (21 - (\frac{32}{5} - \frac{- 1}{5}))$

Étape 13.2.4.33

Placez le signe moins devant la fraction.

$V = π (21 - (\frac{32}{5} + \frac{1}{5}))$

Étape 13.2.4.34

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$V = π (21 - (\frac{32}{5} + 1 (\frac{1}{5})))$

Étape 13.2.4.35

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $1$ .

$V = π (21 - (\frac{32}{5} + \frac{1}{5}))$

Étape 13.2.4.36

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (21 - \frac{32 + 1}{5})$

Étape 13.2.4.37

Additionnez $32$ et $1$ .

$V = π (21 - \frac{33}{5})$

Étape 13.2.4.38

Pour écrire $21$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$V = π (21 \cdot \frac{5}{5} - \frac{33}{5})$

Étape 13.2.4.39

Associez $21$ et $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{21 \cdot 5}{5} - \frac{33}{5})$

Étape 13.2.4.40

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (\frac{21 \cdot 5 - 33}{5})$

Étape 13.2.4.41

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.4.41.1

Multipliez $21$ par $5$ .

$V = π (\frac{105 - 33}{5})$

Étape 13.2.4.41.2

Soustrayez $33$ de $105$ .

$V = π (\frac{72}{5})$

Étape 13.2.4.42

Associez $π$ et $\frac{72}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 72}{5}$

Étape 13.2.4.43

Déplacez $72$ à gauche de $π$ .

$V = \frac{72 π}{5}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = \frac{72 π}{5}$

Forme décimale :

$V = 45.23893421 \dots$

Étape 15