Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2}$ , $y = 4 x$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ où $f (x) = 4 x$ et $g (x) = x^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $4 x$ .

$V = 4^{2} x^{2} - {(x^{2})}^{2}$

Étape 2.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$V = 16 x^{2} - {(x^{2})}^{2}$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 16 x^{2} - x^{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$V = 16 x^{2} - x^{4}$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$V = π (\int_{0}^{4} 16 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Étape 4

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , placez $16$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (16 \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (16 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Étape 6

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} x^{4} d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{4}))$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{4}))$

Étape 9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $4$ et sur $0$ .

$V = π (16 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{4}))$

Étape 9.2.2

Évaluez $\frac{x^{5}}{5}$ sur $4$ et sur $0$ .

$V = π (16 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 9.2.3

Simplifiez

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Étape 9.2.3.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 9.2.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 9.2.3.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 9.2.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 9.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 9.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 9.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 9.2.3.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - 0) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 9.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} + 0) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 9.2.3.5

Additionnez $\frac{64}{3}$ et $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 9.2.3.6

Associez $16$ et $\frac{64}{3}$ .

$V = π (\frac{16 \cdot 64}{3} - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 9.2.3.7

Multipliez $16$ par $64$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 9.2.3.8

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Étape 9.2.3.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0}{5}))$

Étape 9.2.3.10

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

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Étape 9.2.3.10.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

Étape 9.2.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.10.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Étape 9.2.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Étape 9.2.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0}{1}))$

Étape 9.2.3.10.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - 0))$

Étape 9.2.3.11

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} + 0))$

Étape 9.2.3.12

Additionnez $\frac{1024}{5}$ et $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - \frac{1024}{5})$

Étape 9.2.3.13

Pour écrire $\frac{1024}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1024}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1024}{5})$

Étape 9.2.3.14

Pour écrire $- \frac{1024}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1024}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 9.2.3.15

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.2.3.15.1

Multipliez $\frac{1024}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 9.2.3.15.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 9.2.3.15.3

Multipliez $\frac{1024}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3})$

Étape 9.2.3.15.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024 \cdot 3}{15})$

Étape 9.2.3.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (\frac{1024 \cdot 5 - 1024 \cdot 3}{15})$

Étape 9.2.3.17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.3.17.1

Multipliez $1024$ par $5$ .

$V = π (\frac{5120 - 1024 \cdot 3}{15})$

Étape 9.2.3.17.2

Multipliez $- 1024$ par $3$ .

$V = π (\frac{5120 - 3072}{15})$

Étape 9.2.3.17.3

Soustrayez $3072$ de $5120$ .

$V = π (\frac{2048}{15})$

Étape 9.2.3.18

Associez $π$ et $\frac{2048}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 2048}{15}$

Étape 9.2.3.19

Déplacez $2048$ à gauche de $π$ .

$V = \frac{2048 π}{15}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = \frac{2048 π}{15}$

Forme décimale :

$V = 428.93211697 \dots$

Étape 11