Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3}{x}$ , $x = 7$ , $x = 14$ , $y = 0$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{7}^{14} {(f (x))}^{2} d x$ où $f (x) = \frac{3}{x}$

Étape 2

Simplifiez l’intégrande.

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{x}$ .

$V = \frac{3^{2}}{x^{2}}$

Étape 2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$V = \frac{9}{x^{2}}$

Étape 3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (9 \int_{7}^{14} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Déplacez $9$ à gauche de $π$ .

$V = 9 π \int_{7}^{14} \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.2.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$V = 9 π \int_{7}^{14} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 4.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 9 π \int_{7}^{14} x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$V = 9 π \int_{7}^{14} x^{- 2} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$V = 9 π - x^{- 1}]_{7}^{14}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $- x^{- 1}$ sur $14$ et sur $7$ .

$V = 9 π ((- 14^{- 1}) + 7^{- 1})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + 7^{- 1})$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{1}{7})$

Étape 6.2.3

Pour écrire $\frac{1}{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2})$

Étape 6.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $14$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.4.1

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $\frac{2}{2}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{2}{7 \cdot 2})$

Étape 6.2.4.2

Multipliez $7$ par $2$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{2}{14})$

Étape 6.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = 9 π (\frac{- 1 + 2}{14})$

Étape 6.2.6

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$V = 9 π (\frac{1}{14})$

Étape 6.2.7

Associez $\frac{1}{14}$ et $9$ .

$V = \frac{9}{14} \cdot π$

Étape 6.2.8

Associez $\frac{9}{14}$ et $π$ .

$V = \frac{9 π}{14}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = \frac{9 π}{14}$

Forme décimale :

$V = 2.01959527 \dots$

Étape 8