Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} = 2 x$ , $x = 2 y$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (y)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(f (y))}^{2} - {(g (y))}^{2} d y$ où $f (y) = 2 y$ et $g (y) = \frac{y^{2}}{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $2 y$ .

$V = 2^{2} y^{2} - {(\frac{y^{2}}{2})}^{2}$

Étape 2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$V = 4 y^{2} - {(\frac{y^{2}}{2})}^{2}$

Étape 2.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{y^{2}}{2}$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{{(y^{2})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{2 \cdot 2}}{2^{2}}$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{4}}{2^{2}}$

Étape 2.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{4}}{4}$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$V = π (\int_{0}^{4} 4 y^{2} d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Étape 4

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (4 \int_{0}^{4} y^{2} d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$V = π (4 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Étape 6

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} \frac{y^{4}}{4} d y)$

Étape 8

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{4} \cdot \int_{0}^{4} y^{4} d y))$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{4}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} y^{5}]_{0}^{4})$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Simplifiez

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Étape 10.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $y^{5}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4})$

Étape 10.1.2

Associez $\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}$ et $\frac{1}{4}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}}{4})$

Étape 10.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.2.1

Évaluez $\frac{y^{3}}{3}$ sur $4$ et sur $0$ .

$V = π (4 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}}{4})$

Étape 10.2.2

Évaluez $\frac{y^{5}}{5}$ sur $4$ et sur $0$ .

$V = π (4 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Étape 10.2.3

Simplifiez

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Étape 10.2.3.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Étape 10.2.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Étape 10.2.3.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 10.2.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Étape 10.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Étape 10.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Étape 10.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Étape 10.2.3.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - 0) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Étape 10.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} + 0) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Étape 10.2.3.5

Additionnez $\frac{64}{3}$ et $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Étape 10.2.3.6

Associez $4$ et $\frac{64}{3}$ .

$V = π (\frac{4 \cdot 64}{3} - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Étape 10.2.3.7

Multipliez $4$ par $64$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Étape 10.2.3.8

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

Étape 10.2.3.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0}{5}}{4})$

Étape 10.2.3.10

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

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Étape 10.2.3.10.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 (0)}{5}}{4})$

Étape 10.2.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.3.10.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{4})$

Étape 10.2.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{4})$

Étape 10.2.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0}{1}}{4})$

Étape 10.2.3.10.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - 0}{4})$

Étape 10.2.3.11

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} + 0}{4})$

Étape 10.2.3.12

Additionnez $\frac{1024}{5}$ et $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5}}{4})$

Étape 10.2.3.13

Réécrivez $\frac{\frac{1024}{5}}{4}$ comme un produit.

$V = π (\frac{256}{3} - (\frac{1024}{5} \cdot \frac{1}{4}))$

Étape 10.2.3.14

Multipliez $\frac{1024}{5}$ par $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{1024}{5 \cdot 4})$

Étape 10.2.3.15

Multipliez $5$ par $4$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{1024}{20})$

Étape 10.2.3.16

Annulez le facteur commun à $1024$ et $20$ .

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Étape 10.2.3.16.1

Factorisez $4$ à partir de $1024$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 (256)}{20})$

Étape 10.2.3.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.3.16.2.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 \cdot 256}{4 \cdot 5})$

Étape 10.2.3.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 \cdot 256}{4 \cdot 5})$

Étape 10.2.3.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{256}{5})$

Étape 10.2.3.17

Pour écrire $\frac{256}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{256}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{256}{5})$

Étape 10.2.3.18

Pour écrire $- \frac{256}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{256}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 10.2.3.19

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.2.3.19.1

Multipliez $\frac{256}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 10.2.3.19.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 10.2.3.19.3

Multipliez $\frac{256}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256 \cdot 3}{5 \cdot 3})$

Étape 10.2.3.19.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256 \cdot 3}{15})$

Étape 10.2.3.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (\frac{256 \cdot 5 - 256 \cdot 3}{15})$

Étape 10.2.3.21

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.3.21.1

Multipliez $256$ par $5$ .

$V = π (\frac{1280 - 256 \cdot 3}{15})$

Étape 10.2.3.21.2

Multipliez $- 256$ par $3$ .

$V = π (\frac{1280 - 768}{15})$

Étape 10.2.3.21.3

Soustrayez $768$ de $1280$ .

$V = π (\frac{512}{15})$

Étape 10.2.3.22

Associez $π$ et $\frac{512}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 512}{15}$

Étape 10.2.3.23

Déplacez $512$ à gauche de $π$ .

$V = \frac{512 π}{15}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = \frac{512 π}{15}$

Forme décimale :

$V = 107.23302924 \dots$

Étape 12