Calcul infinitésimal Exemples

$x = y^{\frac{1}{3}}$ , $x = 0$ , $y = 64$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ où $f (x) = 64$ et $g (x) = x^{3}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Élevez $64$ à la puissance $2$ .

$V = 4096 - {(x^{3})}^{2}$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 4096 - x^{3 \cdot 2}$

Étape 2.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$V = 4096 - x^{6}$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$V = π (\int_{0}^{4} 4096 d x + \int_{0}^{4} - x^{6} d x)$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$V = π (4096 x]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - x^{6} d x)$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (4096 x]_{0}^{4} - \int_{0}^{4} x^{6} d x)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$V = π (4096 x]_{0}^{4} - (\frac{1}{7} x^{7}]_{0}^{4}))$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{7}$ et $x^{7}$ .

$V = π (4096 x]_{0}^{4} - (\frac{x^{7}}{7}]_{0}^{4}))$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $4096 x$ sur $4$ et sur $0$ .

$V = π ((4096 \cdot 4) - 4096 \cdot 0 - (\frac{x^{7}}{7}]_{0}^{4}))$

Étape 7.2.2

Évaluez $\frac{x^{7}}{7}$ sur $4$ et sur $0$ .

$V = π (4096 \cdot 4 - 4096 \cdot 0 - (\frac{4^{7}}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $4096$ par $4$ .

$V = π (16384 - 4096 \cdot 0 - (\frac{4^{7}}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $- 4096$ par $0$ .

$V = π (16384 + 0 - (\frac{4^{7}}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

Étape 7.2.3.3

Additionnez $16384$ et $0$ .

$V = π (16384 - (\frac{4^{7}}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

Étape 7.2.3.4

Élevez $4$ à la puissance $7$ .

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{0^{7}}{7}))$

Étape 7.2.3.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{0}{7}))$

Étape 7.2.3.6

Annulez le facteur commun à $0$ et $7$ .

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Étape 7.2.3.6.1

Factorisez $7$ à partir de $0$ .

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{7 (0)}{7}))$

Étape 7.2.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.6.2.1

Factorisez $7$ à partir de $7$ .

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

Étape 7.2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}))$

Étape 7.2.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - \frac{0}{1}))$

Étape 7.2.3.6.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} - 0))$

Étape 7.2.3.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$V = π (16384 - (\frac{16384}{7} + 0))$

Étape 7.2.3.8

Additionnez $\frac{16384}{7}$ et $0$ .

$V = π (16384 - \frac{16384}{7})$

Étape 7.2.3.9

Pour écrire $16384$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$V = π (16384 \cdot \frac{7}{7} - \frac{16384}{7})$

Étape 7.2.3.10

Associez $16384$ et $\frac{7}{7}$ .

$V = π (\frac{16384 \cdot 7}{7} - \frac{16384}{7})$

Étape 7.2.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (\frac{16384 \cdot 7 - 16384}{7})$

Étape 7.2.3.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.12.1

Multipliez $16384$ par $7$ .

$V = π (\frac{114688 - 16384}{7})$

Étape 7.2.3.12.2

Soustrayez $16384$ de $114688$ .

$V = π (\frac{98304}{7})$

Étape 7.2.3.13

Associez $π$ et $\frac{98304}{7}$ .

$V = \frac{π \cdot 98304}{7}$

Étape 7.2.3.14

Déplacez $98304$ à gauche de $π$ .

$V = \frac{98304 π}{7}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = \frac{98304 π}{7}$

Forme décimale :

$V = 44118.73203121 \dots$

Étape 9