Calcul infinitésimal Exemples

$y = x - 1$ , $y = x^{2} - 4 x + 3$ , $y = 3$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x - 1 = x^{2} - 4 x + 3$

Étape 1.2

Résolvez $x - 1 = x^{2} - 4 x + 3$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} - 4 x + 3 = x - 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Étape 1.2.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 4 x + 3 - x = - 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Étape 1.2.2.2

Soustrayez $x$ de $- 4 x$ .

$x^{2} - 5 x + 3 = - 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

$x^{2} - 5 x + 3 = - 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Étape 1.2.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 5 x + 3 + 1 = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Étape 1.2.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$x^{2} - 5 x + 4 = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Étape 1.2.5

Factorisez $x^{2} - 5 x + 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $4$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 4, - 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Étape 1.2.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 4) (x - 1) = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

$(x - 4) (x - 1) = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Étape 1.2.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 1 = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Étape 1.2.7

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.7.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Étape 1.2.7.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

$x = 4 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Étape 1.2.8

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.8.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Étape 1.2.8.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

$x = 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Étape 1.2.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 4, 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

$x = 4, 1 + y = x^{2} - 4 x + 3$

$y = 3$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 4$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$y = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 3 y = 3$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans $y = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 3$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 4^{2} - 4 \cdot 4 + 3$

Étape 1.3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 3$

Étape 1.3.2.3

Simplifiez ${(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 3$ .

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Étape 1.3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = 16 - 4 \cdot 4 + 3$

Étape 1.3.2.3.1.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = 16 - 16 + 3$

Étape 1.3.2.3.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.3.2.3.2.1

Soustrayez $16$ de $16$ .

$y = 0 + 3$

Étape 1.3.2.3.2.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$y = 3$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = 1$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$y = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3 y = 3$

Étape 1.4.2

Remplacez $x$ par $1$ dans $y = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 1^{2} - 4 \cdot 1 + 3$

Étape 1.4.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3$

Étape 1.4.2.3

Simplifiez ${(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3$ .

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Étape 1.4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = 1 - 4 \cdot 1 + 3$

Étape 1.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = 1 - 4 + 3$

Étape 1.4.2.3.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.2.3.2.1

Soustrayez $4$ de $1$ .

$y = - 3 + 3$

Étape 1.4.2.3.2.2

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$y = 0$

Étape 1.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(4, 3)$

$(1, 0)$

$(4, 3)$

$(1, 0)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{1}^{4} x - 1 d x - \int_{1}^{4} x^{2} - 4 x + 3 d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $1$ et $4$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{1}^{4} x - 1 - (x^{2} - 4 x + 3) d x$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x - 1 - x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 3$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x - 1 - x^{2} + 4 x - 1 \cdot 3$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x - 1 - x^{2} + 4 x - 3$

$\int_{1}^{4} x - 1 - x^{2} + 4 x - 3 d x$

Étape 3.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.3.1

Additionnez $x$ et $4 x$ .

$5 x - 1 - x^{2} - 3$

Étape 3.3.2

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$5 x - x^{2} - 4$

$\int_{1}^{4} 5 x - x^{2} - 4 d x$

Étape 3.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{4} 5 x d x + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Étape 3.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Étape 3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Étape 3.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Étape 3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Étape 3.9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Étape 3.10

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 4 d x$

Étape 3.11

Appliquez la règle de la constante.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + - 4 x]_{1}^{4}$

Étape 3.12

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.12.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $4$ et sur $1$ .

$5 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + - 4 x]_{1}^{4}$

Étape 3.12.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $4$ et sur $1$ .

$5 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + - 4 x]_{1}^{4}$

Étape 3.12.3

Évaluez $- 4 x$ sur $4$ et sur $1$ .

$5 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4

Simplifiez

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Étape 3.12.4.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$5 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 3.12.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$5 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.12.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$5 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.2.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$5 (8 - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$5 (8 - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.4

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$5 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.5

Associez $8$ et $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.12.4.7.1

Multipliez $8$ par $2$ .

$5 \frac{16 - 1}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.7.2

Soustrayez $1$ de $16$ .

$5 (\frac{15}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.8

Associez $5$ et $\frac{15}{2}$ .

$\frac{5 \cdot 15}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.9

Multipliez $5$ par $15$ .

$\frac{75}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.10

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{75}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{75}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{75}{2} - \frac{64 - 1}{3} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.13

Soustrayez $1$ de $64$ .

$\frac{75}{2} - \frac{63}{3} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.14

Annulez le facteur commun à $63$ et $3$ .

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Étape 3.12.4.14.1

Factorisez $3$ à partir de $63$ .

$\frac{75}{2} - \frac{3 \cdot 21}{3} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.12.4.14.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{75}{2} - \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{75}{2} - \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{75}{2} - \frac{21}{1} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.14.2.4

Divisez $21$ par $1$ .

$\frac{75}{2} - 1 \cdot 21 + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.15

Multipliez $- 1$ par $21$ .

$\frac{75}{2} - 21 + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.16

Pour écrire $- 21$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{75}{2} - 21 \cdot \frac{2}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.17

Associez $- 21$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{75}{2} + \frac{- 21 \cdot 2}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{75 - 21 \cdot 2}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.12.4.19.1

Multipliez $- 21$ par $2$ .

$\frac{75 - 42}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.19.2

Soustrayez $42$ de $75$ .

$\frac{33}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.20

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$\frac{33}{2} - 16 + 4 \cdot 1$

Étape 3.12.4.21

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{33}{2} - 16 + 4$

Étape 3.12.4.22

Additionnez $- 16$ et $4$ .

$\frac{33}{2} - 12$

Étape 3.12.4.23

Pour écrire $- 12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{33}{2} - 12 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.12.4.24

Associez $- 12$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{33}{2} + \frac{- 12 \cdot 2}{2}$

Étape 3.12.4.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{33 - 12 \cdot 2}{2}$

Étape 3.12.4.26

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.12.4.26.1

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$\frac{33 - 24}{2}$

Étape 3.12.4.26.2

Soustrayez $24$ de $33$ .

$\frac{9}{2}$

Étape 4