Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin (x)$ , $x = 0$ , $x = π$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\sin (x) = 0$

Étape 1.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 1.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 1.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 1.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.7

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Remplacez $x$ par $π n$ .

$y = 0$

Étape 1.4

Indiquez toutes les solutions.

$y = 0, x = π n$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{0}^{π} \sin (x) d x - \int_{0}^{π} 0 d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $π$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{π} \sin (x) - (0) d x$

Étape 3.2

Soustrayez $0$ de $\sin (x)$ .

$\int_{0}^{π} \sin (x) d x$

Étape 3.3

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{0}^{π}$

Étape 3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.4.1

Évaluez $- \cos (x)$ sur $π$ et sur $0$ .

$- \cos (π) + \cos (0)$

Étape 3.4.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- \cos (π) + 1$

Étape 3.4.3

Simplifiez

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Étape 3.4.3.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- - \cos (0) + 1$

Étape 3.4.3.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- (- 1 \cdot 1) + 1$

Étape 3.4.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- - 1 + 1$

Étape 3.4.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + 1$

Étape 3.4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$2$

Étape 4