Calcul infinitésimal Exemples

$y = x - \frac{1}{75} x^{3}$ , $y = 0$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x - \frac{1}{75} x^{3} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $x - \frac{1}{75} x^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{75}$ .

$x - \frac{x^{3}}{75} = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x - \frac{x^{3}}{75}$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - \frac{x^{3}}{75} = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- \frac{x^{3}}{75}$ .

$x \cdot 1 + x (- \frac{x^{2}}{75}) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- \frac{x^{2}}{75})$ .

$x (1 - \frac{x^{2}}{75}) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$1 - \frac{x^{2}}{75} = 0 + y = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $1 - \frac{x^{2}}{75}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $1 - \frac{x^{2}}{75}$ égal à $0$ .

$1 - \frac{x^{2}}{75} = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $1 - \frac{x^{2}}{75} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{x^{2}}{75} = - 1$

Étape 1.2.5.2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 75$ .

$- 75 (- \frac{x^{2}}{75}) = - 75 \cdot - 1$

Étape 1.2.5.2.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.2.5.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.3.1.1

Simplifiez $- 75 (- \frac{x^{2}}{75})$ .

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Étape 1.2.5.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $75$ .

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Étape 1.2.5.2.3.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{75}$ dans le numérateur.

$- 75 \frac{- x^{2}}{75} = - 75 \cdot - 1$

Étape 1.2.5.2.3.1.1.1.2

Factorisez $75$ à partir de $- 75$ .

$75 (- 1) \frac{- x^{2}}{75} = - 75 \cdot - 1$

Étape 1.2.5.2.3.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$75 \cdot - 1 \frac{- x^{2}}{75} = - 75 \cdot - 1$

Étape 1.2.5.2.3.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - x^{2} = - 75 \cdot - 1$

Étape 1.2.5.2.3.1.1.2

Multipliez.

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Étape 1.2.5.2.3.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x^{2} = - 75 \cdot - 1$

Étape 1.2.5.2.3.1.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = - 75 \cdot - 1$

Étape 1.2.5.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.3.2.1

Multipliez $- 75$ par $- 1$ .

$x^{2} = 75$

Étape 1.2.5.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{75}$

Étape 1.2.5.2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{75}$ .

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Étape 1.2.5.2.5.1

Réécrivez $75$ comme $5^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.5.2.5.1.1

Factorisez $25$ à partir de $75$ .

$x = \pm \sqrt{25 (3)}$

Étape 1.2.5.2.5.1.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2} \cdot 3}$

Étape 1.2.5.2.5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm 5 \sqrt{3}$

Étape 1.2.5.2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.5.2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 5 \sqrt{3}$

Étape 1.2.5.2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 5 \sqrt{3}$

Étape 1.2.5.2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (1 - \frac{x^{2}}{75}) = 0$ vraie.

$x = 0, 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

Étape 1.3

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = 0$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, 0)$

$(5 \sqrt{3}, 0)$

$(- 5 \sqrt{3}, 0)$

$(0, 0)$

$(5 \sqrt{3}, 0)$

$(- 5 \sqrt{3}, 0)$

Étape 2

Simplifiez $x - \frac{1}{75} x^{3}$ .

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Étape 2.1

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{75}$ .

$y = x - \frac{x^{3}}{75}$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $- \frac{x^{3}}{75}$ .

$y = - \frac{x^{3}}{75} + x$

Étape 3

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} 0 d x - \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - \frac{x^{3}}{75} + x d x$

Étape 4

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- 5 \sqrt{3}$ et $0$ .

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Étape 4.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} 0 - (- \frac{x^{3}}{75} + x) d x$

Étape 4.2

Soustrayez $- \frac{x^{3}}{75} + x$ de $0$ .

$\int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - (- \frac{x^{3}}{75} + x) d x$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} \frac{x^{3}}{75} - x d x$

Étape 4.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} \frac{x^{3}}{75} d x + \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - x d x$

Étape 4.5

Comme $\frac{1}{75}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{75}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{75} \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} x^{3} d x + \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - x d x$

Étape 4.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{75} \frac{1}{4} x^{4}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0} + \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - x d x$

Étape 4.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{75} \frac{1}{4} x^{4}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - \int_{- 5 \sqrt{3}}^{0} x d x$

Étape 4.8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{75} \frac{1}{4} x^{4}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0})$

Étape 4.9

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{75} \frac{1}{4} x^{4}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0} - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0})$

Étape 4.9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.9.2.1

Évaluez $\frac{1}{4} x^{4}$ sur $0$ et sur $- 5 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{75} ((\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 5 \sqrt{3})}^{4}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5 \sqrt{3}}^{0})$

Étape 4.9.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $0$ et sur $- 5 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{75} (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 5 \sqrt{3})}^{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3

Simplifiez

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Étape 4.9.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{75} (\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 5 \sqrt{3})}^{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} {(- 5 \sqrt{3})}^{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.3

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} {(- 5 (\sqrt{3}))}^{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.4

Appliquez la règle de produit à $- 5 (\sqrt{3})$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} ({(- 5)}^{4} {\sqrt{3}}^{4})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.5

Élevez $- 5$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 {\sqrt{3}}^{4})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 4.9.2.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{4}{2}})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.6.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.9.2.3.6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.9.2.3.6.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2}{1}})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.6.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 3^{2})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.7

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} (625 \cdot 9)) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.8

Multipliez $625$ par $9$ .

$\frac{1}{75} (0 - \frac{1}{4} \cdot 5625) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.9

Multipliez $5625$ par $- 1$ .

$\frac{1}{75} (0 - 5625 (\frac{1}{4})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.10

Associez $- 5625$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{75} (0 + \frac{- 5625}{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{75} (0 - \frac{5625}{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.12

Soustrayez $\frac{5625}{4}$ de $0$ .

$\frac{1}{75} (- \frac{5625}{4}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.13

Multipliez $\frac{1}{75}$ par $\frac{5625}{4}$ .

$- \frac{5625}{75 \cdot 4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.14

Multipliez $75$ par $4$ .

$- \frac{5625}{300} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.15

Annulez le facteur commun à $5625$ et $300$ .

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Étape 4.9.2.3.15.1

Factorisez $75$ à partir de $5625$ .

$- \frac{75 (75)}{300} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.9.2.3.15.2.1

Factorisez $75$ à partir de $300$ .

$- \frac{75 \cdot 75}{75 \cdot 4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{75 \cdot 75}{75 \cdot 4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{75}{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.16

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{75}{4} - (\frac{0}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.17

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 4.9.2.3.17.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- \frac{75}{4} - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.9.2.3.17.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{75}{4} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{75}{4} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{75}{4} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.17.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{{(- 5 \sqrt{3})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.18

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 \sqrt{3}$ .

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{{(- 5 (\sqrt{3}))}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.19

Appliquez la règle de produit à $- 5 (\sqrt{3})$ .

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{{(- 5)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.20

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 {\sqrt{3}}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.21

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.9.2.3.21.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.21.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2})$

Étape 4.9.2.3.21.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2})$

Étape 4.9.2.3.21.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.9.2.3.21.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2})$

Étape 4.9.2.3.21.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 \cdot 3^{1}}{2})$

Étape 4.9.2.3.21.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{25 \cdot 3}{2})$

Étape 4.9.2.3.22

Multipliez $25$ par $3$ .

$- \frac{75}{4} - (0 - \frac{75}{2})$

Étape 4.9.2.3.23

Soustrayez $\frac{75}{2}$ de $0$ .

$- \frac{75}{4} - - \frac{75}{2}$

Étape 4.9.2.3.24

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{75}{4} + 1 (\frac{75}{2})$

Étape 4.9.2.3.25

Multipliez $\frac{75}{2}$ par $1$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2}$

Étape 4.9.2.3.26

Pour écrire $\frac{75}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.9.2.3.27

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.9.2.3.27.1

Multipliez $\frac{75}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 4.9.2.3.27.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75 \cdot 2}{4}$

Étape 4.9.2.3.28

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 75 + 75 \cdot 2}{4}$

Étape 4.9.2.3.29

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.9.2.3.29.1

Multipliez $75$ par $2$ .

$\frac{- 75 + 150}{4}$

Étape 4.9.2.3.29.2

Additionnez $- 75$ et $150$ .

$\frac{75}{4}$

Étape 5

$A r e a = \int_{0}^{5 \sqrt{3}} - \frac{x^{3}}{75} + x d x - \int_{0}^{5 \sqrt{3}} 0 d x$

Étape 6

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $5 \sqrt{3}$ .

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Étape 6.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{5 \sqrt{3}} - \frac{x^{3}}{75} + x - (0) d x$

Étape 6.2

Soustrayez $0$ de $- \frac{x^{3}}{75} + x$ .

$\int_{0}^{5 \sqrt{3}} - \frac{x^{3}}{75} + x d x$

Étape 6.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{5 \sqrt{3}} - \frac{x^{3}}{75} d x + \int_{0}^{5 \sqrt{3}} x d x$

Étape 6.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{0}^{5 \sqrt{3}} \frac{x^{3}}{75} d x + \int_{0}^{5 \sqrt{3}} x d x$

Étape 6.5

Comme $\frac{1}{75}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{75}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{75} \int_{0}^{5 \sqrt{3}} x^{3} d x) + \int_{0}^{5 \sqrt{3}} x d x$

Étape 6.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- \frac{1}{75} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{5 \sqrt{3}} + \int_{0}^{5 \sqrt{3}} x d x$

Étape 6.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{75} \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{5 \sqrt{3}} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{5 \sqrt{3}}$

Étape 6.8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.8.1

Évaluez $\frac{1}{4} x^{4}$ sur $5 \sqrt{3}$ et sur $0$ .

$- \frac{1}{75} ((\frac{1}{4} {(5 \sqrt{3})}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{5 \sqrt{3}}$

Étape 6.8.2

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2}$ sur $5 \sqrt{3}$ et sur $0$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} {(5 \sqrt{3})}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3

Simplifiez

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Étape 6.8.3.1

Factorisez $5$ à partir de $5 \sqrt{3}$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} {(5 (\sqrt{3}))}^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.2

Appliquez la règle de produit à $5 (\sqrt{3})$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (5^{4} {\sqrt{3}}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.3

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 {\sqrt{3}}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 6.8.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{4}{2}}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.4.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 6.8.3.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.8.3.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{\frac{2}{1}}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.4.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 3^{2}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} (625 \cdot 9) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.6

Multipliez $625$ par $9$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{1}{4} \cdot 5625 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.7

Associez $\frac{1}{4}$ et $5625$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{5625}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{5625}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.9

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{5625}{4} + 0 (\frac{1}{4})) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.10

Multipliez $0$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{75} (\frac{5625}{4} + 0) + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.11

Additionnez $\frac{5625}{4}$ et $0$ .

$- \frac{1}{75} \cdot \frac{5625}{4} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.12

Multipliez $\frac{5625}{4}$ par $\frac{1}{75}$ .

$- \frac{5625}{4 \cdot 75} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.13

Multipliez $4$ par $75$ .

$- \frac{5625}{300} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.14

Annulez le facteur commun à $5625$ et $300$ .

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Étape 6.8.3.14.1

Factorisez $75$ à partir de $5625$ .

$- \frac{75 (75)}{300} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.8.3.14.2.1

Factorisez $75$ à partir de $300$ .

$- \frac{75 \cdot 75}{75 \cdot 4} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{75 \cdot 75}{75 \cdot 4} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} {(5 \sqrt{3})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.15

Factorisez $5$ à partir de $5 \sqrt{3}$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} {(5 (\sqrt{3}))}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.16

Appliquez la règle de produit à $5 (\sqrt{3})$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (5^{2} {\sqrt{3}}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.17

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 {\sqrt{3}}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.18

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 6.8.3.18.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.18.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.18.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.18.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.8.3.18.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.18.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 \cdot 3^{1}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.18.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} (25 \cdot 3) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.19

Multipliez $25$ par $3$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{1}{2} \cdot 75 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.20

Associez $\frac{1}{2}$ et $75$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.8.3.21

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0$

Étape 6.8.3.22

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2} + 0 (\frac{1}{2})$

Étape 6.8.3.23

Multipliez $0$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2} + 0$

Étape 6.8.3.24

Additionnez $\frac{75}{2}$ et $0$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2}$

Étape 6.8.3.25

Pour écrire $\frac{75}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 6.8.3.26

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.8.3.26.1

Multipliez $\frac{75}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 6.8.3.26.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{75}{4} + \frac{75 \cdot 2}{4}$

Étape 6.8.3.27

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 75 + 75 \cdot 2}{4}$

Étape 6.8.3.28

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.8.3.28.1

Multipliez $75$ par $2$ .

$\frac{- 75 + 150}{4}$

Étape 6.8.3.28.2

Additionnez $- 75$ et $150$ .

$\frac{75}{4}$

Étape 7

Additionnez les aires $\frac{75}{4} + \frac{75}{4}$ .

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Étape 7.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{75 + 75}{4}$

Étape 7.2

Additionnez $75$ et $75$ .

$\frac{150}{4}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun à $150$ et $4$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $2$ à partir de $150$ .

$\frac{2 (75)}{4}$

Étape 7.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 75}{2 \cdot 2}$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 75}{2 \cdot 2}$

Étape 7.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{75}{2}$

Étape 8