Calcul infinitésimal Exemples

$y = x$ , $y = x^{3}$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x = x^{3}$

Étape 1.2

Résolvez $x = x^{3}$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$x - x^{3} = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x - x^{3}$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x - x^{3} = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - x^{3} = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- x^{3}$ .

$x \cdot 1 + x (- x^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- x^{2})$ .

$x (1 - x^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x (1^{2} - x^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez.

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Étape 1.2.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$x ((1 + x) (1 - x)) = 0$

Étape 1.2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (1 + x) (1 - x) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$1 + x = 0$

$1 - x = 0 + y = x^{3}$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $1 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $1 + x$ égal à $0$ .

$1 + x = 0$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.2.6

Définissez $1 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $1 - x$ égal à $0$ .

$1 - x = 0$

Étape 1.2.6.2

Résolvez $1 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 1.2.6.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.6.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.6.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (1 + x) (1 - x) = 0$ vraie.

$x = 0, - 1, 1$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 0$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = {(0)}^{3}$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans $y = {(0)}^{3}$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{3}$

Étape 1.3.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = - 1$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$y = {(- 1)}^{3}$

Étape 1.4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y = - 1$

Étape 1.5

Évaluez $y$ quand $x = 1$ .

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Étape 1.5.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$y = {(1)}^{3}$

Étape 1.5.2

Remplacez $x$ par $1$ dans $y = {(1)}^{3}$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.5.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 1^{3}$

Étape 1.5.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = 1$

Étape 1.6

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, 0)$

$(- 1, - 1)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(- 1, - 1)$

$(1, 1)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} x^{3} d x - \int_{- 1}^{0} x d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- 1$ et $0$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 1}^{0} x^{3} - (x) d x$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $x$ .

$\int_{- 1}^{0} x^{3} - x d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{0} x^{3} d x + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Étape 3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} x d x$

Étape 3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0})$

Étape 3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0} - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Étape 3.7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.7.2.1

Évaluez $\frac{1}{4} x^{4}$ sur $0$ et sur $- 1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Étape 3.7.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $0$ et sur $- 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3

Simplifiez

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Étape 3.7.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$0 - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 1 - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - \frac{1}{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.5

Soustrayez $\frac{1}{4}$ de $0$ .

$- \frac{1}{4} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{1}{4} - (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.7

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 3.7.2.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- \frac{1}{4} - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.7.2.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{1}{4} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{4} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{4} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.7.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- \frac{1}{4} - (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 3.7.2.3.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{4} - (0 - \frac{1}{2})$

Étape 3.7.2.3.9

Soustrayez $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$- \frac{1}{4} - - \frac{1}{2}$

Étape 3.7.2.3.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{4} + 1 (\frac{1}{2})$

Étape 3.7.2.3.11

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$

Étape 3.7.2.3.12

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.7.2.3.13

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.7.2.3.13.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.2.3.13.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{2}{4}$

Étape 3.7.2.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 + 2}{4}$

Étape 3.7.2.3.15

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 4

$A r e a = \int_{0}^{1} x d x - \int_{0}^{1} x^{3} d x$

Étape 5

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $1$ .

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Étape 5.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{1} x - (x^{3}) d x$

Étape 5.2

Multipliez $- 1$ par $x^{3}$ .

$\int_{0}^{1} x - x^{3} d x$

Étape 5.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - x^{3} d x$

Étape 5.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{3} d x$

Étape 5.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{3} d x$

Étape 5.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1})$

Étape 5.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.7.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Étape 5.7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.7.2.1

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Étape 5.7.2.2

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $1$ et sur $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 5.7.2.3

Simplifiez

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Étape 5.7.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 5.7.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 5.7.2.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 5.7.2.3.4

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 5.7.2.3.5

Multipliez $0$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 5.7.2.3.6

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 5.7.2.3.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Étape 5.7.2.3.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{0}{4})$

Étape 5.7.2.3.9

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 5.7.2.3.9.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Étape 5.7.2.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.7.2.3.9.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Étape 5.7.2.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Étape 5.7.2.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{0}{1})$

Étape 5.7.2.3.9.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - 0)$

Étape 5.7.2.3.10

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} + 0)$

Étape 5.7.2.3.11

Additionnez $\frac{1}{4}$ et $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

Étape 5.7.2.3.12

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{4}$

Étape 5.7.2.3.13

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.7.2.3.13.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4}$

Étape 5.7.2.3.13.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2}{4} - \frac{1}{4}$

Étape 5.7.2.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 - 1}{4}$

Étape 5.7.2.3.15

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 6

Additionnez les aires $\frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ .

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Étape 6.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 1}{4}$

Étape 6.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{4}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Étape 6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2}$

Étape 7