Calcul infinitésimal Exemples

$2 y^{2} - \sqrt{x} = 28$ , $(16, 4)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 16$ et $y = 4$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{2} - x^{\frac{1}{2}} = 28$

Étape 1.2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (2 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (28)$

Étape 1.3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

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Étape 1.3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 y y' - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 1.3.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 1.3.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.3.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.3.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 1.3.3.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 1.3.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 y y' - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 1.3.3.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 y y' - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.3.3.9

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.4

Comme $28$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $28$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$4 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 1.6

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.6.1

Ajoutez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ aux deux côtés de l’équation.

$4 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.6.2

Divisez chaque terme dans $4 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par $4 y$ et simplifiez.

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Étape 1.6.2.1

Divisez chaque terme dans $4 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par $4 y$ .

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Étape 1.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Étape 1.6.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Étape 1.6.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Étape 1.6.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{4 y}$

Étape 1.6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.6.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4 y}$

Étape 1.6.2.3.2

Associez.

$y' = \frac{1 \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (4 y)}$

Étape 1.6.2.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.6.2.3.3.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 y}$

Étape 1.6.2.3.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$y' = \frac{1}{8 x^{\frac{1}{2}} y}$

Étape 1.6.2.3.3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{1}{8 x^{\frac{1}{2}} y}$ .

$y' = \frac{1}{8 y x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{8 y x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.8

Évaluez sur $x = 16$ sur $y = 4$ .

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Étape 1.8.1

Remplacez la variable $x$ par $16$ dans l’expression.

$\frac{1}{8 y {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.8.2

Remplacez la variable $y$ par $4$ dans l’expression.

$\frac{1}{8 (4) {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.8.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.8.3.1

Multipliez $8$ par $4$ .

$\frac{1}{32 \cdot 16^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.8.3.2

Réécrivez $32$ comme $2^{5}$ .

$\frac{1}{2^{5} \cdot 16^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.8.3.3

Réécrivez $16$ comme $2^{4}$ .

$\frac{1}{2^{5} \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.8.3.4

Multipliez les exposants dans ${(2^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.8.3.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{4 (\frac{1}{2})}}$

Étape 1.8.3.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.8.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{2 (2) \frac{1}{2}}}$

Étape 1.8.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}}$

Étape 1.8.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2^{5} \cdot 2^{2}}$

Étape 1.8.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2^{5 + 2}}$

Étape 1.8.3.6

Additionnez $5$ et $2$ .

$\frac{1}{2^{7}}$

Étape 1.8.4

Élevez $2$ à la puissance $7$ .

$\frac{1}{128}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{1}{128}$ et un point donné, tel que $(16, 4)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{1}{128} \cdot (x - (16))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 4 = \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{1}{128} \cdot (x - 16)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 4 = \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 4 = \frac{1}{128} x + \frac{1}{128} \cdot - 16$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{1}{128}$ et $x$ .

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{128} \cdot - 16$

Étape 2.3.1.5

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Factorisez $16$ à partir de $128$ .

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 (8)} \cdot - 16$

Étape 2.3.1.5.2

Factorisez $16$ à partir de $- 16$ .

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{1}{8} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.6

Associez $\frac{1}{8}$ et $- 1$ .

$y - 4 = \frac{x}{128} + \frac{- 1}{8}$

Étape 2.3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 4 = \frac{x}{128} - \frac{1}{8}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + 4$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{8}{8}$

Étape 2.3.2.3

Associez $4$ et $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + \frac{4 \cdot 8}{8}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x}{128} + \frac{- 1 + 4 \cdot 8}{8}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $4$ par $8$ .

$y = \frac{x}{128} + \frac{- 1 + 32}{8}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $- 1$ et $32$ .

$y = \frac{x}{128} + \frac{31}{8}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{128} x + \frac{31}{8}$

Étape 3