Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{8}{\sin (x) + \cos (x)}$ , $(0, 8)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = 8$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8}{\sin (x) + \cos (x)}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ comme ${(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x) + \cos (x)$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x) + \cos (x)$ .

$8 (- {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8 ({(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 1.4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 1.5

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 8 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 1.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Associez des termes.

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Étape 1.7.1.1

Associez $- 8$ et $\frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 1.7.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

Étape 1.7.2

Réorganisez les facteurs de $- \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$ .

$- (\cos (x) - \sin (x)) \frac{8}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 1.8

Évaluez la dérivée sur $x = 0$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(\sin (0) + \cos (0))}^{2}}$

Étape 1.9

Simplifiez

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Étape 1.9.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.9.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(0 + \cos (0))}^{2}}$

Étape 1.9.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{{(0 + 1)}^{2}}$

Étape 1.9.1.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{1^{2}}$

Étape 1.9.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- (\cos (0) - \sin (0)) \frac{8}{1}$

Étape 1.9.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.2.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- (1 - \sin (0)) \frac{8}{1}$

Étape 1.9.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- (1 - 0) \frac{8}{1}$

Étape 1.9.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- (1 + 0) \frac{8}{1}$

Étape 1.9.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.9.2.2.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 1 \cdot 1 \frac{8}{1}$

Étape 1.9.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 (\frac{8}{1})$

Étape 1.9.2.2.3

Divisez $8$ par $1$ .

$- 1 \cdot 8$

Étape 1.9.2.2.4

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 8$ et un point donné, tel que $(0, 8)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = - 8 \cdot (x - (0))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 8 = - 8 \cdot (x + 0)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$y - 8 = - 8 x$

Étape 2.3.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 8 x + 8$

Étape 3