Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3 x}{{(2 x - 5)}^{2}}$ , $(2, 6)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = 6$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x}{{(2 x - 5)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 5)}^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 5)}^{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(2 x - 5)}^{2}$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{({(2 x - 5)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 x - 5)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Étape 1.3.3

Multipliez ${(2 x - 5)}^{2}$ par $1$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 2 x - 5$ .

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Étape 1.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - 5$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Étape 1.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 5$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (2 (2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Étape 1.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Étape 1.5.2

Factorisez $2 x - 5$ à partir de ${(2 x - 5)}^{2} - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $2 x - 5$ à partir de ${(2 x - 5)}^{2}$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5) - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Étape 1.5.2.2

Factorisez $2 x - 5$ à partir de $- 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5) + (2 x - 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Étape 1.5.2.3

Factorisez $2 x - 5$ à partir de $(2 x - 5) (2 x - 5) + (2 x - 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Étape 1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.1

Factorisez $2 x - 5$ à partir de ${(2 x - 5)}^{4}$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{(2 x - 5) {(2 x - 5)}^{3}}$

Étape 1.6.2

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{(2 x - 5) {(2 x - 5)}^{3}}$

Étape 1.6.3

Réécrivez l’expression.

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Étape 1.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Étape 1.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Étape 1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Étape 1.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Étape 1.11

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 + 0)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Étape 1.12

Simplifiez les termes.

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Étape 1.12.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x \cdot 2}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Étape 1.12.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 4 x}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Étape 1.12.3

Soustrayez $4 x$ de $2 x$ .

$3 \frac{- 2 x - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Étape 1.12.4

Associez $3$ et $\frac{- 2 x - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$ .

$\frac{3 (- 2 x - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Étape 1.13

Simplifiez

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Étape 1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (- 2 x) + 3 \cdot - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Étape 1.13.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.13.2.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{- 6 x + 3 \cdot - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Étape 1.13.2.2

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$\frac{- 6 x - 15}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Étape 1.13.3

Factorisez $3$ à partir de $- 6 x - 15$ .

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Étape 1.13.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{3 (- 2 x) - 15}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Étape 1.13.3.2

Factorisez $3$ à partir de $- 15$ .

$\frac{3 (- 2 x) + 3 (- 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Étape 1.13.3.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 2 x) + 3 (- 5)$ .

$\frac{3 (- 2 x - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Étape 1.13.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{3 (- (2 x) - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Étape 1.13.5

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$\frac{3 (- (2 x) - 1 (5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Étape 1.13.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (5)$ .

$\frac{3 (- (2 x + 5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Étape 1.13.7

Réécrivez $- (2 x + 5)$ comme $- 1 (2 x + 5)$ .

$\frac{3 (- 1 (2 x + 5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Étape 1.13.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 (2 x + 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Étape 1.14

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$- \frac{3 (2 (2) + 5)}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

Étape 1.15

Simplifiez

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Étape 1.15.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.15.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{3 (4 + 5)}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

Étape 1.15.1.2

Additionnez $4$ et $5$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

Étape 1.15.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.15.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{{(4 - 5)}^{3}}$

Étape 1.15.2.2

Soustrayez $5$ de $4$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{{(- 1)}^{3}}$

Étape 1.15.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{- 1}$

Étape 1.15.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.15.3.1

Multipliez $3$ par $9$ .

$- \frac{27}{- 1}$

Étape 1.15.3.2

Divisez $27$ par $- 1$ .

$- - 27$

Étape 1.15.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 27$ .

$27$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $27$ et un point donné, tel que $(2, 6)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = 27 \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 6 = 27 \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $27 \cdot (x - 2)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 6 = 0 + 0 + 27 \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 6 = 27 \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 6 = 27 x + 27 \cdot - 2$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $27$ par $- 2$ .

$y - 6 = 27 x - 54$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 27 x - 54 + 6$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $- 54$ et $6$ .

$y = 27 x - 48$

Étape 3