Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{5 x}{x - 3}$ , $(4, 20)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = 20$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5 x}{x - 3}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x - 3$ .

$5 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \frac{(x - 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $x - 3$ par $1$ .

$5 \frac{x - 3 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$5 \frac{x - 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \frac{x - 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 \frac{x - 3 - x (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.3.6

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$5 \frac{x - 3 - x \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.3.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$5 \frac{x - 3 - x}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.3.6.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$5 \frac{0 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.3.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.6.4.1

Soustrayez $3$ de $0$ .

$5 \frac{- 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.3.6.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 (- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}})$

Étape 1.3.6.4.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 \frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.3.6.5

Associez $- 5$ et $\frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.3.6.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.6.6.1

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$\frac{- 15}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.3.6.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{15}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 4$ .

$- \frac{15}{{((4) - 3)}^{2}}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.1.1

Soustrayez $3$ de $4$ .

$- \frac{15}{1^{2}}$

Étape 1.5.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{15}{1}$

Étape 1.5.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.5.2.1

Divisez $15$ par $1$ .

$- 1 \cdot 15$

Étape 1.5.2.2

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$- 15$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 15$ et un point donné, tel que $(4, 20)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (20) = - 15 \cdot (x - (4))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 20 = - 15 \cdot (x - 4)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- 15 \cdot (x - 4)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 20 = 0 + 0 - 15 \cdot (x - 4)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 20 = - 15 \cdot (x - 4)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 20 = - 15 x - 15 \cdot - 4$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $- 15$ par $- 4$ .

$y - 20 = - 15 x + 60$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $20$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 15 x + 60 + 20$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $60$ et $20$ .

$y = - 15 x + 80$

Étape 3