Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3 x}{x - 2}$ , $(4, 6)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = 6$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x}{x - 2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x - 2$ .

$3 \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \frac{(x - 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $x - 2$ par $1$ .

$3 \frac{x - 2 - x \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$3 \frac{x - 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \frac{x - 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 \frac{x - 2 - x (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.6

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$3 \frac{x - 2 - x \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 \frac{x - 2 - x}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.6.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$3 \frac{0 - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.6.4.1

Soustrayez $2$ de $0$ .

$3 \frac{- 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.6.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (- \frac{2}{{(x - 2)}^{2}})$

Étape 1.3.6.4.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 \frac{2}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.6.5

Associez $- 3$ et $\frac{2}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.6.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.6.6.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{- 6}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.3.6.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 4$ .

$- \frac{6}{{((4) - 2)}^{2}}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.1.1

Soustrayez $2$ de $4$ .

$- \frac{6}{2^{2}}$

Étape 1.5.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{6}{4}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$- \frac{2 (3)}{4}$

Étape 1.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3}{2}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{3}{2}$ et un point donné, tel que $(4, 6)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (4))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 6 = - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 6 = 0 + 0 - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - 6 = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.2.2

Associez $x$ et $\frac{3}{2}$ .

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 2))$

Étape 2.3.1.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 2)$

Étape 2.3.1.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 2$

Étape 2.3.1.2.4

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$y - 6 = - \frac{x \cdot 3}{2} + 6$

Étape 2.3.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y - 6 = - \frac{3 x}{2} + 6$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{3 x}{2} + 6 + 6$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $6$ et $6$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 12$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{3}{2} x) + 12$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{3}{2} x + 12$

Étape 3