Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2 x + 1}{x + 2}$ , $(1, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x + 1$ et $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.2.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $x + 2$ .

$\frac{2 \cdot (x + 2) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.2.9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.2.10.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (2 x + 1)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 x + 4 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x + 4 - 2 x - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x + 4 - 2 x - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.3.3.2

Associez les termes opposés dans $2 x + 4 - 2 x - 1$ .

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Étape 1.3.3.2.1

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{0 + 4 - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.3.3.2.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$\frac{4 - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.3.3.3

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$\frac{3}{{((1) + 2)}^{2}}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.1.1

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3}{3^{2}}$

Étape 1.5.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{3}{9}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (1)}{9}$

Étape 1.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Étape 1.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Étape 1.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{1}{3}$ et un point donné, tel que $(1, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = \frac{1}{3} \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{1}{3} \cdot (x - 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$y - 1 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.5

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$y - 1 = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Étape 2.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 1 = \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + 1$

Étape 2.3.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

Étape 2.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 1 + 3}{3}$

Étape 2.3.2.4

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}$

Étape 3