Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(1 + 5 x)}^{15}$ , $(0, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{15}$ et $g (x) = 1 + 5 x$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + 5 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{15}] \frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 15$ .

$15 u^{14} \frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + 5 x$ .

$15 {(1 + 5 x)}^{14} \frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$15 {(1 + 5 x)}^{14} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$15 {(1 + 5 x)}^{14} (0 + \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

$15 {(1 + 5 x)}^{14} \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 1.2.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 {(1 + 5 x)}^{14} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.5

Multipliez $5$ par $15$ .

$75 {(1 + 5 x)}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$75 {(1 + 5 x)}^{14} \cdot 1$

Étape 1.2.7

Multipliez $75$ par $1$ .

$75 {(1 + 5 x)}^{14}$

Étape 1.3

Évaluez la dérivée sur $x = 0$ .

$75 {(1 + 5 (0))}^{14}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$75 {(1 + 0)}^{14}$

Étape 1.4.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$75 \cdot 1^{14}$

Étape 1.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$75 \cdot 1$

Étape 1.4.4

Multipliez $75$ par $1$ .

$75$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $75$ et un point donné, tel que $(0, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 75 \cdot (x - (0))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = 75 \cdot (x + 0)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$y - 1 = 75 x$

Étape 2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 75 x + 1$

Étape 3