Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$ , $(1, 0)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 0$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 1$ et $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} + x + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.9

Additionnez $2 x + 1$ et $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + x + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x - (x^{2} - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.4.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.3.4.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (x \cdot x) + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} - - 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + (- x^{2} + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.5

Développez $(- x^{2} + 1) (2 x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.4.1.6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.6.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.4.1.6.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.6.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.3.4.1.6.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.6.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.6.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.6.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.6.5

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.1.6.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - x^{2} + 2 x + 1$ .

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Étape 1.3.4.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 0 - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.2.2

Additionnez $2 x^{2} + 2 x$ et $0$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.3

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 2 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4.4

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$\frac{{(1)}^{2} + 4 (1) + 1}{{({(1)}^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{{(1)}^{2} + 4 (1) + 1}{{({(1)}^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Étape 1.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 + 4 (1) + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Étape 1.5.2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{1 + 4 + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Étape 1.5.2.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{5 + 1}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Étape 1.5.2.4

Additionnez $5$ et $1$ .

$\frac{6}{{(1^{2} + 1 + 1)}^{2}}$

Étape 1.5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{6}{{(1 + 1 + 1)}^{2}}$

Étape 1.5.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6}{{(2 + 1)}^{2}}$

Étape 1.5.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{6}{3^{2}}$

Étape 1.5.3.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{6}{9}$

Étape 1.5.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $9$ .

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Étape 1.5.4.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 (2)}{9}$

Étape 1.5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Étape 1.5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Étape 1.5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{2}{3}$ et un point donné, tel que $(1, 0)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{2}{3} \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 0 = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Additionnez $y$ et $0$ .

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.2

Simplifiez $\frac{2}{3} \cdot (x - 1)$ .

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Étape 2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 1$

Étape 2.3.2.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 1$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.2.3.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 1$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Étape 2.3.2.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2}{3}$

Étape 2.3.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{2}{3} x - \frac{2}{3}$

Étape 3