Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt[4]{x}$ , $(1, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x}$ comme $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}$

Étape 1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 1.4

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}$

Étape 1.6.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}$

Étape 1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}$

Étape 1.8

Simplifiez

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Étape 1.8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$

Étape 1.8.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Étape 1.9

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$\frac{1}{4 {(1)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 1.10

Simplifiez

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Étape 1.10.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 1.10.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{1}{4}$ et un point donné, tel que $(1, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = \frac{1}{4} \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{1}{4} \cdot (x - 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{1}{4}$ et $x$ .

$y - 1 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.5

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 1$ .

$y - 1 = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Étape 2.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 1 = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + 1$

Étape 2.3.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Étape 2.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 + 4}{4}$

Étape 2.3.2.4

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{4} x + \frac{3}{4}$

Étape 3