Calcul infinitésimal Exemples

$x e^{y} + y e^{x} = 1$ , $(0, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x e^{y} + y e^{x}) = \frac{d}{d x} (1)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x e^{y} + y e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Étape 1.2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Étape 1.2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Étape 1.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Étape 1.2.2.5

Multipliez $e^{y}$ par $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y e^{x}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = y$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + y \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + y e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + y e^{x} + e^{x} y'$

Étape 1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.2.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{y} x y' + e^{x} y + e^{x} y' + e^{y}$

Étape 1.2.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{y} x y' + e^{x} y + e^{x} y' + e^{y}$ .

$x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y}$

Étape 1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y} = 0$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y}$ .

$x y' e^{y} + y e^{x} + y' e^{x} + e^{y} = 0$

Étape 1.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.5.2.1

Soustrayez $y e^{x}$ des deux côtés de l’équation.

$x y' e^{y} + y' e^{x} + e^{y} = - y e^{x}$

Étape 1.5.2.2

Soustrayez $e^{y}$ des deux côtés de l’équation.

$x y' e^{y} + y' e^{x} = - y e^{x} - e^{y}$

Étape 1.5.3

Factorisez $y'$ à partir de $x y' e^{y} + y' e^{x}$ .

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Étape 1.5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $x y' e^{y}$ .

$y' (x e^{y}) + y' (e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

Étape 1.5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $y' e^{x}$ .

$y' (x e^{y}) + y' (e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

Étape 1.5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x e^{y}) + y' (e^{x})$ .

$y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

Étape 1.5.4

Divisez chaque terme dans $y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$ par $x e^{y} + e^{x}$ et simplifiez.

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Étape 1.5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$ par $x e^{y} + e^{x}$ .

$\frac{y' (x e^{y} + e^{x})}{x e^{y} + e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x e^{y} + e^{x}$ .

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Étape 1.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x e^{y} + e^{x})}{x e^{y} + e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Étape 1.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- y e^{x} - e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Étape 1.5.4.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y e^{x}$ .

$y' = \frac{- (y e^{x}) - e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Étape 1.5.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- e^{y}$ .

$y' = \frac{- (y e^{x}) - (e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

Étape 1.5.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y e^{x}) - (e^{y})$ .

$y' = \frac{- (y e^{x} + e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

Étape 1.5.4.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.5.4.3.5.1

Réécrivez $- (y e^{x} + e^{y})$ comme $- 1 (y e^{x} + e^{y})$ .

$y' = \frac{- 1 (y e^{x} + e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

Étape 1.5.4.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y e^{x} + e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y e^{x} + e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 0$ sur $y = 1$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$- \frac{y e^{0} + e^{y}}{(0) \cdot e^{y} + e^{0}}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $1$ dans l’expression.

$- \frac{(1) \cdot e^{0} + e^{1}}{(0) \cdot e^{1} + e^{0}}$

Étape 1.7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.3.1

Multipliez $e^{0}$ par $1$ .

$- \frac{e^{0} + e^{1}}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

Étape 1.7.3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- \frac{1 + e^{1}}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

Étape 1.7.3.3

Simplifiez

$- \frac{1 + e}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

Étape 1.7.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.4.1

Simplifiez

$- \frac{1 + e}{0 \cdot e + e^{0}}$

Étape 1.7.4.2

Multipliez $0$ par $e$ .

$- \frac{1 + e}{0 + e^{0}}$

Étape 1.7.4.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- \frac{1 + e}{0 + 1}$

Étape 1.7.4.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$- \frac{1 + e}{1}$

Étape 1.7.5

Simplifiez en multipliant.

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Étape 1.7.5.1

Divisez $1 + e$ par $1$ .

$- (1 + e)$

Étape 1.7.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 1 - e$

Étape 1.7.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 - e$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 1 - e$ et un point donné, tel que $(0, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = (- 1 - e) \cdot (x - (0))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = (- 1 - e) \cdot (x + 0)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $(- 1 - e) \cdot (x + 0)$ .

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Étape 2.3.1.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$y - 1 = (- 1 - e) \cdot x$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = - 1 x - e x$

Étape 2.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y - 1 = - x - e x$

Étape 2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - x - e x + 1$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Déplacez $e$ .

$y = - x - 1 x e + 1$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = - x - x e + 1$

Étape 2.3.3.3

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$y = x \cdot - 1 - x e + 1$

Étape 2.3.3.4

Factorisez $x$ à partir de $- x e$ .

$y = x \cdot - 1 + x (- e) + 1$

Étape 2.3.3.5

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot - 1 + x (- e)$ .

$y = x \cdot (- 1 - e) + 1$

Étape 2.3.3.6

Multipliez $- 1 - e$ par $x$ .

$y = (- 1 - e) x + 1$

Étape 3