Calcul infinitésimal Exemples

$x^{4} y^{4} = 16$ , $(2, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{4} y^{4}) = \frac{d}{d x} (16)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = y^{4}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [y^{4}] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{4} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x^{4} (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.2.3

Déplacez $4$ à gauche de $x^{4}$ .

$4 \cdot x^{4} y^{3} \frac{d}{d x} [y] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 x^{4} y^{3} y' + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{4} y^{3} y' + y^{4} (4 x^{3})$

Étape 1.2.6

Déplacez $4$ à gauche de $y^{4}$ .

$4 x^{4} y^{3} y' + 4 y^{4} x^{3}$

Étape 1.3

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$4 x^{4} y^{3} y' + 4 y^{4} x^{3} = 0$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Soustrayez $4 y^{4} x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{4} y^{3} y' = - 4 y^{4} x^{3}$

Étape 1.5.2

Divisez chaque terme dans $4 x^{4} y^{3} y' = - 4 y^{4} x^{3}$ par $4 x^{4} y^{3}$ et simplifiez.

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Étape 1.5.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{4} y^{3} y' = - 4 y^{4} x^{3}$ par $4 x^{4} y^{3}$ .

$\frac{4 x^{4} y^{3} y'}{4 x^{4} y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Étape 1.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{4} y^{3} y'}{4 x^{4} y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Étape 1.5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{4} y^{3} y'}{x^{4} y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Étape 1.5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 1.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{4} y^{3} y'}{x^{4} y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Étape 1.5.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Étape 1.5.2.2.3

Annulez le facteur commun de $y^{3}$ .

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Étape 1.5.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Étape 1.5.2.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

Étape 1.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $4$ .

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Étape 1.5.2.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 y^{4} x^{3}$ .

$y' = \frac{4 (- y^{4} x^{3})}{4 x^{4} y^{3}}$

Étape 1.5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{4} y^{3}$ .

$y' = \frac{4 (- y^{4} x^{3})}{4 (x^{4} y^{3})}$

Étape 1.5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{4 (- y^{4} x^{3})}{4 (x^{4} y^{3})}$

Étape 1.5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y^{4} x^{3}}{x^{4} y^{3}}$

Étape 1.5.2.3.2

Annulez le facteur commun à $y^{4}$ et $y^{3}$ .

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Étape 1.5.2.3.2.1

Factorisez $y^{3}$ à partir de $- y^{4} x^{3}$ .

$y' = \frac{y^{3} (- y x^{3})}{x^{4} y^{3}}$

Étape 1.5.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.3.2.2.1

Factorisez $y^{3}$ à partir de $x^{4} y^{3}$ .

$y' = \frac{y^{3} (- y x^{3})}{y^{3} x^{4}}$

Étape 1.5.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y^{3} (- y x^{3})}{y^{3} x^{4}}$

Étape 1.5.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y x^{3}}{x^{4}}$

Étape 1.5.2.3.3

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{4}$ .

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Étape 1.5.2.3.3.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- y x^{3}$ .

$y' = \frac{x^{3} (- y)}{x^{4}}$

Étape 1.5.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.3.3.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4}$ .

$y' = \frac{x^{3} (- y)}{x^{3} x}$

Étape 1.5.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x^{3} (- y)}{x^{3} x}$

Étape 1.5.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y}{x}$

Étape 1.5.2.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{x}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 2$ sur $y = 1$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$- \frac{y}{2}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $1$ dans l’expression.

$- \frac{1}{2}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{1}{2}$ et un point donné, tel que $(2, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1))$

Étape 2.3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$y - 1 = - \frac{x}{2} - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 1$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{x}{2} + 1 + 1$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = - \frac{x}{2} + 2$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 2$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{2} x + 2$

Étape 3