Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} = 5 x^{4} - x^{2}$ , $(- 1, 2)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 1$ et $y = 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (5 x^{4} - x^{2})$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y'$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{4} - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Étape 1.3.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.3.2.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$20 x^{3} - (2 x)$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$20 x^{3} - 2 x$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' = 20 x^{3} - 2 x$

Étape 1.5

Divisez chaque terme dans $2 y y' = 20 x^{3} - 2 x$ par $2 y$ et simplifiez.

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Étape 1.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' = 20 x^{3} - 2 x$ par $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{20 x^{3}}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 1.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{20 x^{3}}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 1.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{20 x^{3}}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{20 x^{3}}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 1.5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{20 x^{3}}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 1.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.3.1.1

Annulez le facteur commun à $20$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $20 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 (10 x^{3})}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 1.5.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$y' = \frac{2 (10 x^{3})}{2 (y)} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 1.5.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (10 x^{3})}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 1.5.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 1.5.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Étape 1.5.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} + \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Étape 1.5.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Étape 1.5.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} + \frac{- x}{y}$

Étape 1.5.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} - \frac{x}{y}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{10 x^{3}}{y} - \frac{x}{y}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = - 1$ sur $y = 2$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$\frac{10 {(- 1)}^{3}}{y} - \frac{- 1}{y}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $2$ dans l’expression.

$\frac{10 {(- 1)}^{3}}{2} - \frac{- 1}{2}$

Étape 1.7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{10 {(- 1)}^{3} + 1}{2}$

Étape 1.7.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.4.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{10 \cdot - 1 + 1}{2}$

Étape 1.7.4.2

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$\frac{- 10 + 1}{2}$

Étape 1.7.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.7.5.1

Additionnez $- 10$ et $1$ .

$\frac{- 9}{2}$

Étape 1.7.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9}{2}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{9}{2}$ et un point donné, tel que $(- 1, 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - \frac{9}{2} \cdot (x - (- 1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 2 = - \frac{9}{2} \cdot (x + 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{9}{2} \cdot (x + 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 2 = 0 + 0 - \frac{9}{2} \cdot (x + 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - 2 = - \frac{9}{2} x - \frac{9}{2} \cdot 1$

Étape 2.3.1.2.2

Associez $x$ et $\frac{9}{2}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 9}{2} - \frac{9}{2} \cdot 1$

Étape 2.3.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 9}{2} - \frac{9}{2}$

Étape 2.3.1.3

Déplacez $9$ à gauche de $x$ .

$y - 2 = - \frac{9 x}{2} - \frac{9}{2}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{9 x}{2} - \frac{9}{2} + 2$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{9 x}{2} - \frac{9}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.3.2.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{9 x}{2} - \frac{9}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{9 x}{2} + \frac{- 9 + 2 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = - \frac{9 x}{2} + \frac{- 9 + 4}{2}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $- 9$ et $4$ .

$y = - \frac{9 x}{2} + \frac{- 5}{2}$

Étape 2.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{9 x}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{9}{2} x) - \frac{5}{2}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{9}{2} x - \frac{5}{2}$

Étape 3