Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} = 4 x$ , $(1, 2)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (4 x)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y'$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' = 4$

Étape 1.5

Divisez chaque terme dans $2 y y' = 4$ par $2 y$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' = 4$ par $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{4}{2 y}$

Étape 1.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{4}{2 y}$

Étape 1.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{4}{2 y}$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{4}{2 y}$

Étape 1.5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{4}{2 y}$

Étape 1.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 y}$

Étape 1.5.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y)}$

Étape 1.5.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 y}$

Étape 1.5.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{2}{y}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 1$ sur $y = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$\frac{2}{y}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $2$ dans l’expression.

$\frac{2}{2}$

Étape 1.7.3

Divisez $2$ par $2$ .

$1$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez la pente $1$ et un point donné, tel que $(1, 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 1 \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 2 = 1 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$y - 2 = x - 1$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = x - 1 + 2$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$y = x + 1$

Étape 3