Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} + 4 x y + y^{2} = 13$ , $(2, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (13)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4 x y + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x y$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$2 x + 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 1.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 1.2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + 4 (x y' + y) + 2 y y'$

Étape 1.2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 4 (x y') + 4 y + 2 y y'$

Étape 1.2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 x + 4 x y' + 4 y + 2 y y'$

Étape 1.2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 x y' + 2 y y' + 2 x + 4 y$

Étape 1.3

Comme $13$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $13$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$4 x y' + 2 y y' + 2 x + 4 y = 0$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$4 x y' + 2 y y' + 4 y = - 2 x$

Étape 1.5.1.2

Soustrayez $4 y$ des deux côtés de l’équation.

$4 x y' + 2 y y' = - 2 x - 4 y$

Étape 1.5.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $4 x y' + 2 y y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $4 x y'$ .

$2 y' (2 x) + 2 y y' = - 2 x - 4 y$

Étape 1.5.2.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y y'$ .

$2 y' (2 x) + 2 y' y = - 2 x - 4 y$

Étape 1.5.2.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' (2 x) + 2 y' y$ .

$2 y' (2 x + y) = - 2 x - 4 y$

Étape 1.5.3

Divisez chaque terme dans $2 y' (2 x + y) = - 2 x - 4 y$ par $2 (2 x + y)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y' (2 x + y) = - 2 x - 4 y$ par $2 (2 x + y)$ .

$\frac{2 y' (2 x + y)}{2 (2 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y' (2 x + y)}{2 (2 x + y)} = \frac{- 2 x}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (2 x + y)}{2 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2 x + y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (2 x + y)}{2 x + y} = \frac{- 2 x}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Étape 1.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Étape 1.5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (2 x + y)} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Étape 1.5.3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- x}{2 x + y} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Étape 1.5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x}{2 x + y} + \frac{- 4 y}{2 (2 x + y)}$

Étape 1.5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 y$ .

$y' = - \frac{x}{2 x + y} + \frac{2 (- 2 y)}{2 (2 x + y)}$

Étape 1.5.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{x}{2 x + y} + \frac{2 (- 2 y)}{2 (2 x + y)}$

Étape 1.5.3.3.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{x}{2 x + y} + \frac{- 2 y}{2 x + y}$

Étape 1.5.3.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x}{2 x + y} - \frac{2 y}{2 x + y}$

Étape 1.5.3.3.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- x - 2 y}{2 x + y}$

Étape 1.5.3.3.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y' = \frac{- (x) - 2 y}{2 x + y}$

Étape 1.5.3.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y$ .

$y' = \frac{- (x) - (2 y)}{2 x + y}$

Étape 1.5.3.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- (x + 2 y)}{2 x + y}$

Étape 1.5.3.3.2.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.3.2.5.1

Réécrivez $- (x + 2 y)$ comme $- 1 (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x + 2 y)}{2 x + y}$

Étape 1.5.3.3.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x + 2 y}{2 x + y}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 2 y}{2 x + y}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 2$ sur $y = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$- \frac{(2) + 2 y}{2 (2) + y}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $1$ dans l’expression.

$- \frac{(2) + 2 (1)}{2 (2) + 1}$

Étape 1.7.3

Supprimez les parenthèses.

$- \frac{(2) + 2 (1)}{2 (2) + 1}$

Étape 1.7.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.4.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{2 + 2}{2 (2) + 1}$

Étape 1.7.4.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$- \frac{4}{2 (2) + 1}$

Étape 1.7.5

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{4}{4 + 1}$

Étape 1.7.5.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$- \frac{4}{5}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{4}{5}$ et un point donné, tel que $(2, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{4}{5} \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = - \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = - \frac{4}{5} x - \frac{4}{5} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{4}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} - \frac{4}{5} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- \frac{4}{5} \cdot - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.5.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + 2 (\frac{4}{5})$

Étape 2.3.1.5.2

Associez $2$ et $\frac{4}{5}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{2 \cdot 4}{5}$

Étape 2.3.1.5.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{8}{5}$

Étape 2.3.1.6

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$y - 1 = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + 1$

Étape 2.3.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8}{5} + \frac{5}{5}$

Étape 2.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{8 + 5}{5}$

Étape 2.3.2.4

Additionnez $8$ et $5$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{13}{5}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{4}{5} x) + \frac{13}{5}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{4}{5} x + \frac{13}{5}$

Étape 3